Benutzer:Leonry/U-Statistik

Dieser Artikel ist im Entstehen und noch nicht Bestandteil der freien Enzyklopädie Wikipedia.

Solltest du über eine Suchmaschine darauf gestoßen sein, bedenke, dass der Text noch unvollständig sein und Fehler oder ungeprüfte Aussagen enthalten kann. Wenn du Fragen zum Thema hast, nimm Kontakt mit dem Autor Leonry auf.

Eine U-Statistik ist ein erwartungstreuer Schätzer im Bereich der asymptotischen Statistik. Sie wurde 1948 von Wassily Hoeffding erstmals definiert, wobei das "U" für die Unverzerrtheit des Schätzers steht.

Definition

Sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $\left(X_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge (stochastich) unabhängiger und identisch verteilter $d$-dimensionaler Zufallsvektoren mit Verteilungsfunktion $F:\mathbb {R} ^{d}\to [0,1]$. Weiter seien $k,m\in \mathbb {N}$ mit $k\leq m$ und $\psi :(\mathbb {R} ^{d})^{k}\to \mathbb {R}$ eine messbare und symmetrische Funktion, wofür das zweite Moment existiert. Dann heißt U-Statistik der Ordnung k mit Kern $\psi$ die Zufallsvariable

$U_{m}:=U_{m}(X_{1},\dots ,X_{m}):={\frac {1}{m \choose k}}\sum _{1\leq i_{1}<\dots <i_{k}\leq m}\psi (X_{i_{1}},\dots ,X_{i_{k}})$

Bemerkungen

Es handelt sich bei der U-Statistik um einen Sonderfall der V-Statistik, die 1947 durch Richard von Mises eingeführt wurden. Diese beschreiben die asymptotische Verteilung der sogenannten von-Mises-Funktionalen und werden zur Verwirrung der Allgemeinheit ebenfalls so genannt.

Verallgemeinerung

Eine Verallgemeinerung der U-Statistik wurde 1951 durch Lehmann formuliert.

Beispiele

Für die ersten niedrigen Werte für $k$ folgen bei bestimmter Wahl von $\psi$ der zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy, die Stichprobenvarianz, Ginis mittlere absolute Differenz, die Stichprobenkovarianz, Wilcoxons Ein-Stichproben-Statistik oder auch Kendalls Tau.

Literatur

• Norbert Henze: Asymptotische Stochastik: Eine Einführung mit Blick auf die Statistik. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2022, ISBN 978-3-662-65610-5, doi:10.1007/978-3-662-65611-2 (springer.com [abgerufen am 5. Mai 2024]). 
• Rabi Bhattacharya, Manfred Denker: Asymptotic Statistics. Birkhäuser Basel, Basel 1990, ISBN 978-3-0348-9964-2, doi:10.1007/978-3-0348-9254-4 (englisch, springer.com [abgerufen am 5. Mai 2024]).