Vaughans Identität

Vaughans Identität ist eine Formel aus der analytischen Zahlentheorie für die Mangoldt-Funktion $\Lambda (n)$. Die Identität wurde 1977 von Robert Charles Vaughan veröffentlicht.

Es existieren leicht verschiedene Formen der Identität, die aber allesamt gleichwertig sind. 1982 erschien eine Verallgemeinerung von Roger Heath-Brown.

Einführung

In vielen Problemstellungen der Zahlentheorie muss man Summen der Form

$\sum \limits _{n}\Lambda (n)f(n)$

abschätzen, wobei $\Lambda (n)$ die Mangoldt-Funktion ist und $f(n)$ oft eine zahlentheoretische Funktion. Es gibt hierfür drei klassische Methoden

1. Winogradows Methode.
2. Null-Dichte-Methoden für Dirichletsche L-Funktionen $L(s,\chi )$ (englisch zero density methods).
3. Vaughans Identität.

Winogradows Methode: Winogradow studierte trigonometrische Summen

$\sum \limits _{p\leq n,\;p{\text{ prime}}}e(\alpha p),\quad {\text{wobei }}e(x):=\exp(2\pi ix)$

und fand dabei eine Methode diese abzuschätzen. Er bewies damit seinen Satz von Winogradow. Seine Methode lässt sich auch auf summatorische Funktionen mit der Mangoldt-Funktion übertragen, jedoch ist sie nicht-trivial und schwieriger als die anderen beiden Methoden.

Null-Dichte-Methoden: Die zweite Methode behandelt Schranken für die Null-Dichte, dies sind obere Schranken für die Funktion $N(\sigma ,T,\chi )$, welche die Anzahl der Nullstellen $s=\beta +i\gamma$ der Funktion $L(s,\chi )$ in der Region $\sigma \leq \beta \leq 1,|\gamma |\leq T$ zählt. Solche Schranken wiederum können aus den Ungleichungen des großen Siebs hergeleitet werden.

Vaughans Identität

Seien $U,V\geq 1$ zwei positive Schranken und $n\in \mathbb {N}$, dann lässt sich die Mangoldt-Funktion in vier Funktionen aufteilen

$\Lambda (n)=\lambda _{1}(n)+\lambda _{2}(n)+\lambda _{3}(n)+\lambda _{4}(n)$

wobei

$\lambda _{1}(n)=\Lambda (n)1_{\{n\leq U\}}(n)$

und

$\lambda _{2}(n)=-\sum \limits _{\stackrel {mdr=n}{m\leq U,d\leq V}}\Lambda (m)\mu (d),\quad \lambda _{3}(n)=\sum \limits _{\stackrel {hd=n}{d\leq V}}\mu (d)\log(h),\quad \lambda _{4}(n)=-\sum \limits _{\stackrel {mk=n}{m>U,k>1}}\Lambda (m)\sum \limits _{\stackrel {d\mid k}{d\leq V}}\mu (d).$

$\mu (d)$ bezeichnet die Möbius-Funktion, welche für natürliche Zahlen definiert ist.

Erläuterungen

Man unterscheidet zwei Fälle, für den ersten Fall $n\leq U$ ist nur $\lambda _{1}$ relevant

$1_{\{n\leq U\}}(n)\Lambda (n)=\lambda _{1}(n).$

Man kann zeigen, dass in diesem Fall $\lambda _{2}(n)+\lambda _{3}(n)=0$ und offensichtlich auch $\lambda _{4}(n)=0$.

Im zweiten Fall $n>U$ sind hingegen nur die drei Summen relevant

$1_{\{n>U\}}(n)\Lambda (n)=\lambda _{2}(n)+\lambda _{3}(n)+\lambda _{4}(n).$

Herleitung

Wir führen folgende Hilfsfunktionen ein

$F(s):=\sum \limits _{n\leq U}\Lambda (n)n^{-s},\quad G(s):=\sum \limits _{d\leq V}\mu (n)n^{-s}.$

Die Dirichletreihe mit der Mangoldt-Funktion lässt sich mit der logarithmischen Ableitung des Euler-Produkts als Zeta-Funktion schreiben

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)n^{-s}=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}.$

Die rechte Seite formt man nun mit Hilfe von $F$ und $G$ etwas um (durch ausmultiplizieren sieht man, dass beide Seiten äquivalent sind)

${\begin{aligned}-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}&=F(s)-\zeta (s)F(s)G(s)-\zeta '(s)G(s)+\left(-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}-F(s)\right)(1-\zeta (s)G(s))\\&=D_{1}(s)-D_{2}(s)-D_{3}(s)+D_{4}(s).\end{aligned}}$

Jedes der $D_{j}(s)$ kann als Dirichlet-Reihe dargestellt werden und somit

$\Lambda (n)n^{-s}=\left(\lambda _{1}(n)+\lambda _{2}(n)+\lambda _{3}(n)+\lambda _{4}(n)\right)n^{-s},$

wobei $\lambda _{j}(n)$ der Koeffizient von $n^{-s}$ in $D_{j}(n)$ ist.

Als Nächstes schreiben wir die Mangoldt-Funktion um

$\Lambda (n)=\sum _{r\mid n}\mu \left(r\right)\log \left({\frac {n}{r}}\right)=\sum _{hd=n}\mu \left(h\right)\log(d),$

wobei sich die rechte Seite daraus erklärt, dass wir über alle Kombinationen der Form $hd=n$ summieren (da $h,d\in \mathbb {N}$ summiert man über alle Teiler) und ${\tfrac {n}{h}}=d$. Teilen wir diese Summe in $h\leq V$ und $h>V$ auf, so ist ersteres $\lambda _{3}(n)$. Die Summe mit $h>V$ schreiben wir um, indem wir den Logarithmus als summatorische Mangoldt-Funktion darstellen, und dann bringen wir sie durch ein kombinatorisches Argument auf die Menge $h\leq V$ mit einem Vorzeichenwechsel

$\sum _{\stackrel {hd=n}{h>V}}\mu \left(h\right)\log(d)=\sum \limits _{\stackrel {hd=n}{h>V}}\mu (h)\sum \limits _{r\mid d}\Lambda (r)=-\sum \limits _{m\mid n}\Lambda (m)\sum \limits _{\stackrel {d\mid {\tfrac {n}{m}}}{d\leq V}}\mu (d).$

Die rechte Seite lässt sich dann nochmals umschreiben und in $m\geq U$ und $m<U$ aufteilen, dann erhält man $\lambda _{2}$ und $\lambda _{4}$.

Heath-Browns Identität

Definiere für $V\geq 1$ die Hilfsfunktion

$M(s)=\sum \limits _{n\leq V}\mu (n)n^{-s}.$

Für $k\in \mathbb {N}$ gilt

${\frac {1}{\zeta (s)}}\zeta '(s)=\left(\sum \limits _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}{\binom {k}{j}}\zeta (s)^{j-1}M(s)^{j}+{\frac {1}{\zeta (s)}}(1-\zeta (s)M(s))^{k}\right)\zeta '(s).$