Konchoide von de Sluze

Konchoide von de Sluze für verschiedene $a$

Die Konchoide von de Sluze ist eine Schar von ebenen Kurven, die 1662 von René François Walther de Sluze untersucht wurde. In Polarkoordinaten wird sie wie folgt ausgedrückt:

$r=\sec \theta +a\cos \theta$

Der Sekans ist die Kehrwertfunktion des Kosinus.

Für kartesische Koordinaten $(x,y)$ gilt:

$(x-1)(x^{2}+y^{2})=ax^{2}$

Die kartesische Form hat jedoch für $a=0$ einen Lösungspunkt $(0,0)$, der in der Polarkoordinatenform nicht vorhanden ist.

Diese Ausdrücke haben eine Asymptote $x=1$ (für $a\neq 0$). Der Punkt, der von der Asymptote a am weitesten entfernt liegt, ist $(1+a,0)$. In $(0,0)$ kreuzen sich Kurven für $a<-1$ selbst.

Die Fläche zwischen Kurve und der Asymptote berechnet sich wie folgt:

$|a|(1+a/4)\pi \,$ für $a\geq -1$

$\left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}-a\left(2+{\frac {a}{2}}\right)\arcsin {\frac {1}{\sqrt {-a}}}$ für $a<-1$

Die Fläche der Schleife ist

$\left(2+{\frac {a}{2}}\right)a\arccos {\frac {1}{\sqrt {-a}}}+\left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}$ für $a<-1$

Vier Kurven der Schar haben spezielle Namen:

• $a=0$, Gerade (Asymptote für die anderen Kurven der Schar)
• $a=-1$, Zissoide
• $a=-2$, rechte Strophoide
• $a=-4$, Trisektrix von Maclaurin

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Conchoid of de Sluze. In: MathWorld (englisch).
• John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Conchoid of de Sluze. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch).