Komonotone Zufallsvariablen

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Die Komonotonie beschreibt in der Wahrscheinlichkeitstheorie einen starken gleichgerichteten Zusammenhang von zwei reellen Zufallsvariablen oder mehrerer Komponenten eines Zufallsvektors. Ein Anwendungsbereich ist die Theorie der Risikomaße.

Zwei reelle Zufallsvariablen und , die auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind, heißen komonoton genau dann, wenn

gilt.[1]

Für zwei reelle Zufallsvariablen und auf sind die folgenden Aussagen äquivalent:[2]

  1. und sind komonoton.
  2. Es gibt eine reelle Zufallsvariable auf und nichtfallende reelle Funktionen und , so dass und gelten.
  3. Es gibt nichtfallende reelle Funktionen und , so dass und gelten.

und seien komonotone Zufallsvariablen auf . Für die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion (untere Quantilfunktion) von mit und gilt dann

[3]

In der axiomatischen Theorie der Risikomaße verlangt das Axiom der komonotonen Additivität, dass ein Risikomaß , das für Zufallsvariablen , und definiert ist, additiv für komonotone Zufallsvariablen ist, dass also

gilt, falls und komonotone Zufallsvariablen sind. Ein Funktional , das auf einer Menge von Zufallsvariablen definiert ist, mit dieser Eigenschaft heißt komonoton additiv.

Ein monetäres Risikomaß, das komonoton additiv ist, heißt komonoton.[1] Jedes komonotone monetäre Risikomaß ist positiv homogen, erfüllt also

[4]

Beispielsweise sind die Risikomaße Value at Risk und Average Value at Risk komonotone monetäre Risikomaße.[5]

Allgemeinere Definition

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Es gibt eine etwas allgemeinere Definition für einen Zufallsvektor:

sei die Verteilungsfunktion eines -dimensionalen Zufallsvektors mit den Randverteilungsfunktionen . Dann heißt der Zufallsvektor komonoton, falls

gilt.[6][7]

Einzelnachweise

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  1. a b Hans Föllmer, Alexander Schied: Stochastic Finance. 2016, Def. 4.82, S. 255.
  2. Hans Föllmer, Alexander Schied: Stochastic Finance. 2016, Lemma 4.89, S. 259.
  3. Georg Ch. Pflug, Werner Römisch: Modeling, Measuring and Managing Risk. 2007, Proposition 1.7.
  4. Hans Föllmer, Alexander Schied: Stochastic Finance. 2016, Lemma 4.83, S. 256.
  5. Hans Föllmer, Alexander Schied: Stochastic Finance. 2016, Remark 4.91, S. 259.
  6. Alfred Müller, Dietrich Stoyan: Comparison Methods for Stochastic Models and Risks. S. 87.
  7. Michel Denuit et al.: Actuarial Theory for Dependent Risks – Measures, Orders and Models. S. 144.