Kollektives Modell

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Ein kollektives Modell oder kollektives Risikomodell ist ein Paar zweier Zufallsvariablen mit großer Anwendung in der Versicherungsmathematik.

Sei eine Zufallsvariable mit und eine Folge von reellen stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen, dann heißt das Paar kollektives Modell. Meistens sind die Zufallsvariablen nichtnegative Zufallsvariablen.

Eine mögliche Interpretation hat große Bedeutung in der Schadensversicherungsmathematik, wenn man einen homogenen Bestand an Risiken betrachtet. Hierbei interpretiert man als die zufällige Anzahl aller Schäden, die in einem Zeitabschnitt eingetreten sind, und als die Schadenhöhe die der -te Schaden verursacht hat.

Allerdings ist bei der Verwendung in der Praxis Vorsicht geboten, da alle Zufallsvariablen als unabhängig voneinander verteilt angenommen werden, was in der Praxis nicht immer der Fall sein muss.

Das kollektive Modell ist eine Verallgemeinerung des individuellen Modells.

Weiterhin ist es in der Versicherungsmathematik sinnvoll einen Gesamtschaden zu definieren:

selbst ist dann wieder eine Zufallsvariable, die durch das zu Grunde liegende kollektive Modell beschrieben wird.

  • Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Gesamtschadens ist eine Mischverteilung, wobei die Verteilung von die mischende Verteilung ist.
  • Die Verteilungsfunktion von ergibt sich als
Dabei bezeichnet die Verteilungsfunktion von .[1] Da die stochastisch unabhängig und identisch verteilt sind, ist die Verteilung von die -fache Faltung der Verteilung von .
  • Wenn den Erwartungswert hat, dann ist
der Erwartungswert von .[2]
  • Wenn den Erwartungswert und die endliche Varianz hat, dann ist
die Varianz von .[3]
  • Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von kann in bestimmten Fällen mit dem Panjer-Algorithmus rekursiv berechnet werden.[4]

Einzelnachweise

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  1. R. Kaas et al.: Modern Actuarial Risk Theory. S. 44.
  2. R. Kaas et al.: Modern Actuarial Risk Theory. S. 42.
  3. R. Kaas et al.: Modern Actuarial Risk Theory. S. 43.
  4. R. Kaas et al.: Modern Actuarial Risk Theory. S. 49–54.