Diskussion:Polstelle

Sorry, dass ich die anderen Kommentare hier gelöscht habe, die wurden aber schon alle berücksichtigt.

Ordnund -> Ordnung

Eine Erklärung, warum das Polstelle heißt, wäre auch ganz nett.

Du musst nicht darauf warten, dass jemand anderer die Fehler, die du gefunden hast ausbessert, das kann jeder machen. Sei mutig beim Ändern der Seiten! In der Zeit, in der du das hier geschreiben hast, kannst du auch einfach selbst ausbessern. (siehe auch Wikipedia:Beteiligen) --Caramdir 16:03, 18. Sep 2003 (CEST)

Überarbeiten

Die Definition stimmt so zumindest nicht mit der Verwendung in der Funktionentheorie überein: z.B. ist ${\frac {1}{x}}$ eine Polstelle, $\mathrm {e} ^{1/x}$ nicht. Man sollte klären, ob das wirklich in der reellen Analysis allgemeiner verwendet wird.--Gunther 15:33, 4. Apr 2005 (CEST)

Man sollte in diesem Artikel die uebliche Definition aus der Funktionentheorie (Pol *z^n = hebbare Singularitaet) als Grundlage verwenden. Und als Randbemerkung kann man stehen lassen, dass manchmal schlampigerweise Polstelle fuer Singularitaet verwendet wird. --Matthy 19:26, 25. Mai 2005 (CEST)

Und der Logarithmus hat dann eine Polstelle der Ordnung 0? Oder der Ordnung 1? Überzeugt mich noch nicht. Wird das wirklich in der reellen Analysis so verwendet?--Gunther 22:40, 27. Mai 2005 (CEST)

Ich habe noch ein anderes Problem: Die Tangensfunktion ist doch auch nur ein Beispiel, bei dem die Polstellen sich als Nullstellen des Nenners ergeben. $tan={\frac {sin}{cos}}$, also sind die Nullstellen des Cosinus die Polstellen des Tangens.?--bijick 14:18, 18.9.2005

Der gesamte Text zur Definition von Polstellen ist überarbeitungswürdig! Man sollte vielleicht zunächst zwischen isolierten und nichtisolierten Singularitäten unterscheiden. Die Notwendigkeit dieser Unterscheidung liefert beispielsweise die Funktion cotan(1/x)an der Stelle x=0. Null selbst ist hier keine isolierte Singularität und damit auch keine Polstelle, da in jeder Umgebung von Null noch beliebig viele weitere Singularitäten (alles Pollstellen!)liegen. Die Definition von Polstellen (der Funktion f an der Polstelle a)sollte man dann am besten mit der Endlichkeit des Grenzwertes des Produktes |f(x) (x-a)^-k|liefern. hiermit hat man mit dem kleinsten möglichen k aus IN auch sogleich ein klare Definition der Ordnung einer Polstelle. Beschränkt man sich (didaktische Reduktion beispielsweise für Schüler)auf gebrochen-rationale Funktionen, reicht dann auch die beidseitige Unbeschränktheit der Betragsfunktion aus. Als Gegenbeispiel dient hier die Funktion e^(1/x^2), die bei Null eine wesentliche Singularität(also kein Pol) besitzt. Die Funktion e^(1/x) hingegen erfüllt bereits die beidseitige Unbeschränktheitsdefinition nicht!

Siehe oben: Welche Ordnung will man $\log |x|$ im Nullpunkt zuschreiben? Wirklich 1, wie Du es vorzuschlagen scheinst?--Gunther 15:29, 31. Dez 2005 (CET)

Ja, nach der obigen Definition hätte log|x| in Null eine Polstelle erster Ordnung.

Auch wenn eine Unterscheidung zwischen wesentlichen Singularitäten und Polstellen im Reellen nicht viel Sinn macht, sollte man dennoch keine Polstellendefinition wählen, welche später in der komplexen Funktionentheorie (dort benötigt man diese Unterscheidung z.B. um die Menge der meromorphen Funktion gegen einige andere abzugrenzen) zu Widersprüchen führt. Ich gebe allerdings zu, dass man bereits bei der Definition der isolierten Singularitäten in der reellen Analysis diesen Fehler nicht vermeiden kann. Im Sinne der komplexen Funktionentheorie ist beispielsweise die Null bei der Funktion log|x| keine isolierte Singularität (weil diese Funktion in keiner Umgebung um irgendeine reelle Zahl holomorph ist!). (nicht signierter Beitrag von 84.131.9.187 (Diskussion) 00:46, 3. Jan 2006 (CET))

Verstehe ich das richtig, dass Du hier auch nur über mögliche sinnvolle Definitionen spekulierst? Vielleicht gibt es ja einfach keine präzise Definition im reellen Fall? Man kann natürlich die komplexe Fortsetzbarkeit als Definition verwenden (oder die reelle Adaption in der Fassung $(x-c)^{k}f$ ist analytisch bei c), aber ich habe keine Ahnung, ob das irgendjemand tatsächlich so macht. Die Klasse der Funktionen mit Polen ist im Reellen einfach vergleichsweise uninteressant.--Gunther 00:46, 3. Jan 2006 (CET)

Habe einen Teil der Polstellendefinition übersehen! Eine weitere Forderung an den Grenzwert von (x-a)^k f(x) ist die, dass er ungleich Null sein muss, womit log|x| keinen Pol in Null hat!!!

Natürlich spekuliere ich nur über den Begriff, wenn ich eine verlässliche Quelle hätte, hätte ich diese einfach zitiert.

Die einzige mir bekannte Quelle die diese Polstellendefinition auch für reelle Funktionen nutzt ist : Duden Grundwissen Mathematik, Mannheim 1991. Alle meine Hochschulunterlagen vermeiden entweder den Polstellenbegriff oder verwenden ihn nur bei rationalen Funktionen. (nicht signierter Beitrag von 84.131.49.69 (Diskussion) 22:05, 3. Jan 2006)

Was haltet ihr von folgender Definition: "Die isolierte Singularität z=a ist ein Pol der Ordnung n, wenn f(z) = (z-a)^(-n) g(z), wobei g analytisch ung g(a) =! 0 ist" [Die Laurent-Reihe um a enthält nur endlich viele negative Potenzen von (z-a)] Felix (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von Felix --89.49.151.169 12:32, 19. Sep 2006 (CEST))

"Analytisch" ist halt für reelle Verhältnisse eine sehr starke Voraussetzung.--Gunther 00:22, 26. Sep 2006 (CEST)

Und stimmt es, dass es bei der Polstelle nur eine vertikale Asymptote gibt? Gibt es nicht oft auch eine horizontale wie in der Abbildung im Artikel? - Basti

Das ist "Zufall". Betrachte stattdessen etwa $f(x)={\frac {1}{x}}+x^{2}$. Das verhält sich dann asymptotisch wie $x^{2}$, was die Polstelle bei 0 jedoch völlig kalt läßt.--Hagman 16:41, 13. Mai 2007 (CEST)+

Im dtv-Atlas Mathematik, ein Werk das m E. ziemlich konsequent redigiert wurde, wird der Begriff Polstelle nur für rationale Funktionen definiert. Band 2, Seite 303.

Ich habe mal einen Blick in die Bücher Analysis 1 von Königsberger und in den Bronstein geworfen. Beide verwenden, genauso wie du auch schon erwähntest, diesen Begriff nur im Zusammenhang mit gebrochenrationalen Funktionen. Diese gebrochenrationalen Funktionen sind ja meromorph, (oder teuche ich?), also holomorph bis auf endlich? viele Stellen. Was haltet Ihr davon das Thema der reellen Polstelle bei Singularitäten unterzubringen. Dort kann man dann ja auch Funktionen, wie ${\frac {1}{\cos(x)}}$ unterbringen, da der Cosnus ja analytisch ist. Für relle unstetige Funktionen die nicht in diese Klasse fallen, gibt es scheintbar auch keine sinnvolle Definition der Polstelle. Fals Ihr meint diese Seite solle Bestand haben, so wäre ich dafür die Definition auf gebrochenrationale Funktionen zu beschränken und diese Definition besser hervorzuheben. --Christian1985 21:09, 7. Okt. 2007 (CEST)

Polstelle als eigenes Lemma sollte schon bleiben, kommt in der Schule vor, in Einführungs-Analysis-Vorlesungen und als eigener Begriff in der Funktionentheorie. Polstellen sind halt eine besondere Art von Singularitäten, der Begriff wird manchmal schwammig benutzt. Meromorphe Funktionen können übrigens auch unendlich viele Polstellen haben, wie dein 1/cos Beispiel schön zeigt :-) Gebrochenrationale Funktionen sind genau die, die auf $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ meromorph sind - und da fallen exp und sin/cos leider schon raus. Ich kümmere mich in den nächsten Tagen um eine Verbesserung.--Xario 04:53, 8. Okt. 2007 (CEST)

f(x) = 1/sin(x)

Der Graph sieht etwas komisch aus für diese Funktion. Oder irre ich mich da ?

???? --Johib 03:02, 3. Feb. 2007 (CET)

Ja, Du irrst dich! Der Graph ist genau richtig. Habe das eben nochmal überprüft. --svebert 15:13, 8. Jul. 2007 (CEST)

Überarbeiten Okt 07

Oben stehende Diskussion führte zu der Überarbeitung. Hauptpunkt dabei war, dass in der Schule Polstellen nur an rationalen Funktionen erklärt werden. Auch in Anylsis I im Mathestudium werden Polstellen meist nicht sonders behandelt, weil es mit Funktionentheorie soviel einfacher geht. Der funktionentheoretische Teil fehlte völlig, während der Teil über rationale Funktionen nicht leicht verständlich war und sich auch nicht auf das wesentliche beschränkte (sondern ne halbe Kurvendiskussion war). Außerdem waren ein paar Fehler drin, so hat log KEINEN Pol bei Null (neinnein :-)) und auch sonst einige unklare Formulierungen.

Hiermit ist der Review-Prozess eröffnet! --χario 20:53, 26. Okt. 2007 (CEST)

Der Artikel gefällt mir sehr gut ! Hier sind noch kleine, eher nebensächliche Anmerkungen/Fragen:

• Im Abschnitt Schwierigkeiten bei der verallgemeinerung: Generell bereitet jede glatte aber nicht-analytische Funktion Schwierigkeiten, da sollte man eventuell noch auf die Definitionsmengen eingehen bzw. so habe ich irgendwie Schwierigkeit das mit dem log Beispiel in Verbindung zu bringen, denn der ist auf $\mathbb {R} _{+}$ doch analytisch und glatt.
• Die Verwendung der Regel von l'Hospital in den Beispielen ist zwar formal gesehen nicht falsch, aber nach den "Standardeinführungen" der trigonometrischen Funktionen ein Zirkelschluss, da diese den Grenzwert ($\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ verwenden, um die Ableitung von sin(x) und cos(x) zu bestimmen. Deshalb ist es eigentlich besser den obigen Grenzwert selbst zusammen mit den trigonomischen Identitäten für $\sin(x+(2n+1)\pi )$ und $\sin(x+(2n+1)\pi )$mit $n\in \mathbb {N}$ zur Berechnung des gesuchten Grenzwertes zu verwenden.--Kmhkmh 02:55, 28. Okt. 2007 (CEST)

Merci!! Zu den beiden Punkten:

1. 1: Ich hab bei glatt aber nicht analytisch gar nicht an den Log gedacht, sondern eher an so was wie f= e^(-x²). Das hat eingeschränkt auf R eine stetig hebbare Lücke in 0 und sogar da eine Nullstelle. Die Funktion ist da aber nicht analytisch (obwohl man ihrs ja nicht gleich ansieht), die NS ist wenn man so will von unendlicher Ordnung. Wenn man das nicht weiß und dann 1/f anschaut, könnte man auf die Idee kommen, in 0 gäbe es einen Pol. Darauf wollte ich hinaus. Beim Log liegen die Dinge ja noch ganz anders. Ich weiß nicht, wie man ohne Rückgriff auf komplexe Zahlen argumentieren könnte, das Log keinen Pol hat...
2. 2: Interessant, ich hab sin und cos im Zuge der exp-Funktion kennengelernt - und zwar durch ihre Diffgleichung (f')' = -f und ihre Periodizität. Was sagen andere dazu?

^{Wo liegt der Unterschied in deinen "beiden" trigonometrischen Identitäten? :-)} --χario 03:12, 28. Okt. 2007 (CET)

Naja es gibt natürlich mehrere Varianten sin,cos einzuführen, die aus meiner Sicht alle so ihre Schwächen haben, kommt direkt über die Exponentialfunktion (Königsberger), so benötigt man komplexe Zahlen. Verwendet man Differentialgleichung so hat man meines Wisses zunächst nur Eigenschaften und keine Existenz, die ergibt sich erst bei einer direkt Definition über die Potenzreihen (Heuser). Die saubere Formalisierung des Ansatzes über den Einheitskreis ist auch nicht ohne Probleme, hat allerdings den Vorteil das sie an das Schulwissen und geometrische Intuition anschließt, die formalisierte Variante der Schuldarstellungen wird übrigens auch an Universitäten verwandt (Endl-Luh). Letztendlich ist wohl auch alles persönliche Geschmacksache,ich wollte nur auf die Zirkelschlussproblematik hinweisen,da sie sich des öfteren durch Newsgruppen,Foren und FAQs zieht. Mit den beiden Identitäten war natürlich $\sin(x+(2n+1)\pi )$ und $\sin(x+2n\pi )$ gemeint, um +1 und -1 zu erhalten, hatte beim Schreiben bzw. Cut&Paste wieder mal nicht aufgepasst. :-)--Kmhkmh 16:19, 28. Okt. 2007 (CET) ^{lol --χario 17:20, 28. Okt. 2007 (CET)}

Das Kennenlernen von sin und cos aus der exp-Funktion ist wohl im Studium ziemlich üblich, nicht dagegen im Schulunterricht. Dort wird normalerweise die geometrische Definition verwendet, und $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ ist ein beliebter beweistechnischer Stolperstein (die Argumentation, weshalb der Kreisbogen kürzer ist als $tanx$ ist besonders gerne lückenhaft). Insofern würde ich es befürworten den (für Schüler) zirkulären Schluss zu vermeiden.--Hagman 13:53, 28. Okt. 2007 (CET)

Ok, interessant, stimme ich natürlich zu. Es geht ja nur um die Begründung von lim x/sinx existiert. Solln wir die Begründung dann einfach rausnehmen oder schaffen wir es, das ähnlich kurz zu formulieren? --χario 17:20, 28. Okt. 2007 (CET)

Oh, peinlich, peinlich, da stand doch bei Beispielen die ganze Zeit 1/(x+1)² statt 1/(x²+1)...naja, hat ja jetzt jemand korrigiert :-). Die Erklärung zum sin hab ich einfach rausgenommen. Ist ja alles andere als der zentrale Punkt im Artikel. Kann damit der QS-Baustein raus, bzw. wie läuft das ab? --χario 18:17, 1. Nov. 2007 (CET)

Kann doch jedem mal passieren... :-) --Tolentino 13:26, 2. Nov. 2007 (CET)

Tangens

"Während es nach obigem Vorgehen keine Probleme bereitet, z. B. für die Tangensfunktion die Existenz und Ordnung der Polstellen anzugeben [...]"

Was ist denn dann die Ordnung der Polstellen der Tangensfunktion und wie kommt man darauf. Mir ist auf den ersten Blick nur ersichtlich, dass sie ungerade sein muss. --Jobu0101 01:02, 18. Aug. 2008 (CEST)

Ist zwarn alter Beitrag aber klären kann mans ja mal und dann auch mal innen Artikel einfügen: Mit tan=sin/cos wird es klar, die Nullstellen von sin und cos sind alle versetzt, also ist jede Nullstelle von cos eine Polstelle von tan mit der Ordnung 1, denn cos verhält sich an den Nullstellen wie eine lineares Polynom. --χario 00:24, 4. Mai 2012 (CEST)

Grenzwert

In dem Bereich unter der Überschrift "Existenz von uneigentlichen Grenzwerten" wird immer der Begriff Grenzwert benutzt und das ist natürlich falsch. Wie man hier lesen kann Definition des Grenzwertes, kann $\pm \infty$ kein Grenzwert sein, weil zum Beispiel $\infty \notin \mathbb {R}$. --Jobu0101 09:13, 18. Aug. 2008 (CEST)

siehe Bestimmte_Divergenz --Scholten 22:01, 11. Feb. 2011 (CET)

ungleichnamig

Im Text steht z.Z. : "Bei einer ungeraden Ordnung spricht man auch von einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel, der Graph springt aus dem positiven in den negativen Bildbereich oder umgekehrt."

An dieser Stelle ist es imo hilfreich, die Begriffe "gleichnamig" und "ungleichnamig" zu nennen + erklären. Robert Müller-Fonfara, "Mathematik verständlich", Bassermann-Verlag 2004, S. 380:

"Polstellen heißen gleichnamig, wenn beide Äste des Graphen in eine Richtung laufen; sie heißen ungleichnamig, wenn ein Ast gegen plus Unendlich, der andere gegen minus Unendlich läuft."

(Anm.: "Unendlich ist in diesem Zitat als liegende Acht dargestellt)

Würde mich freuen, wenn ein Vollprofi das (dort) ergänzt. --Neun-x 17:52, 10. Mär. 2011 (CET)

Und Link zu Definitionslücke (und Stetig behebbare Definitionslücke ?)

Die Links sollte man auf jeden Fall ergänzen, falls ich die Zeit finde, werde ich es tun. Die Begriffe "gleichnamig" und "ungleichnamig" habe ich im Zusammenhang mit Postellen aber noch nie gehört. Gibt es für diesen Begriff noch andere Quellen? -- Digamma 18:35, 10. Mär. 2011 (CET)

PS:Definitionslücke ist gleich in der ersten Zeile verlinkt. -- Digamma 18:40, 10. Mär. 2011 (CET)

Prima ! Quelle für "gleichnamige Polstelle": www.matheraum.de

--Neun-x 20:28, 10. Mär. 2011 (CET)

Die Quelle überzeugt mich noch nicht so ganz. Autor ist ein Student der Umweltwissenschaften. Sonst habe ich mit Google nichts gefunden, wo "gleichnamig" im Zusammenhang mit "Polstelle" vorkommt. Gleichnamig findet man sonst nur bei Magnetpolen und bei Brüchen (gleicher Nenner). Ich halte das für Begriffsfindung. (nicht signierter Beitrag von Digamma (Diskussion | Beiträge) )

Mich überzeugt die Quelle ebenso nicht. Außerdem kann man (aus komplexer Sicht) sicherlich nicht von zwei Ästen reden, sondern müsste es daran festmachen, ob die Ordnung gerade ist. Aber, wie gesagt, mir ist in ernsthafter Literatur dieser Begriff bisher noch nicht begegnet. --Tolentino 19:35, 11. Mär. 2011 (CET)

Hat ne Polstelle nicht immer eine Ordnung?

MMn heißt Pol: "Die Funktion verhält sich im Wesentlichen lokal wie ein Binom-Kehrwert, genauer wie 1/(x-x_0)^k". Das müsste (wenn dem so ist) dann besser dargestellt werden im Artikel. Ich weiß im Komplexen gilt: Wenn es keine nat. Zahl n gibt, sodass die Singul. ein Pol n-ter Ordung ist, dann ist es keine Polstelle. Ist das im Reellen anders? In Unstetigkeitsstelle steht zusammengefasst: lim x->x_0 f(x) = unendlich <=> x_0 ist Pol. Stimmt das? Beispiel: f(x) = log(|x|) ist auf R\0 diffbar, aber bei 0 fällt es schneller als Fetter Textjedes 1/x^k. --χario 23:31, 3. Mai 2012 (CEST)

Vorschläge für eine weitere Überarbeitung

Mir erscheint der Artikel wenig professionell und ich möchte einige Verbesserungsvorschläge machen; dabei greife ich auch einige Punkte der vorangehenden Diskussion wieder auf.

Zur Einleitung: "Polstelle" ist ein Begriff aus der komplexen Analysis; der fachliche Oberbegriff ist "isolierte Singularität". Man sollte deshalb nicht von "Definitionslücken" sprechen.

Die Bedingung, dass die Funktionswerte in jeder Umgebung des Punktes (betragsmäßig) beliebig groß werden, ist unpräzise; zum Beispiel hat die Funktion z->1/Wurzel(|z|) in 0 den Grenzwert unendlich aber keinen Pol und sogar die in C\{0} holomorphe Funktion z->exp(1/z) hat in jeder Umgebung von 0 betragsmäßig beliebig große Funktionswerte aber keinen Pol.

Das Besondere an Polstellen ist nicht, dass die Funktionswerte gleichmäßig gegen unendlich streben, sondern, dass sich die Funktion ähnlich verhält wie c/z^n in 0 (c in C\{0}, n>0, ganzzahlig).

Die Untersuchung der Polstellen von 1/sin oder 1/cos ist im Reellen genauso einfach (oder schwierig) wie im Komplexen, wenn man eine zweckmäßige Definition hat (siehe unten).

Zu "Reelle Funktionen": Im zweiten Satz nach der Formel für f(x) "Dann können Polstellen von f generell nur ..." ist das Wort "generell" überflüssig und schwächt die Aussage ab (als ob es auch Ausnahmen gäbe).

Für das Ausfaktorisieren der Nullstellen wird der Fundamentalsatz der Algebra nicht gebraucht, weil er ja nur die Existenz einer Nullstelle garantiert, während hier die Existenz einer Nullstelle bereits vorausgesetzt wird.

Weil es im Abschnitt über reelle Funktionen eher um Mathematik auf Schulniveau geht, sollte man den Leser nicht mit Einpunktkompaktifizierungen behelligen; f hat an Polstellen ungerader Ordnung nur einseitige Grenzwerte oder |f| hat den Grenzwert unendlich.

Um das "obige Vorgehen" (für rationale Funktionen) problemlos auf den Tangens zu übertragen, müsste man zunächst einmal definieren, was eine Polstelle ist. Beim Logarithmus ist es nicht nur "unmöglich" Existenz und Ordnung von Polstellen anzugeben, sondern er hat einfach keine. Die reell analytische Funktion log x bereitet auch schon Schwierigkeiten und auch funktionentheoretische Hilsmittel helfen da nicht.

Der ganze Abschnitt über reelle Funktionen sollte gestrichen werden, weil Polstellen in der reellen Analysis nicht behandelt werden und man sich in der Schulmathematik auf rationale Funktionen beschränkt. Das könnte man immerhin am Ende des Artikels erwähnen.

Vorschlag für eine Neuformulierung: Polstelle ist ein Begriff aus der Funktionentheorie und bezeichnet eine isolierte Singularität einer holomorphen Funktion, an der sie sich ähnlich verhält wie c/z^n in 0, wobei c aus C\{0} und n>0 eine ganze Zahl ist.

Nach der Einleitung sollte zunächst der Begriff "Polstelle" für holomorphe Funktionen exakt definiert werden, z. B.: Eine isolierte Singularität a einer holomorphen Funktion f heißt Polstelle (n-ter Ordnung, n>0 eine ganze Zahl), wenn lim_{z->a}(z-a)^n*f(z) existiert und ungleich null ist.

Dann könnte man zwei Beispiele (mit Begründung) behandeln: rationale Funktionen und 1/sin.

"Hebbare Singularitäten", "wesentliche Singularitäten" und "meromorphe Funktionen" kann man noch als Verweise erwähnen, weil es dazu eigene Artikel gibt, und dann sollte eigentlich Schluss sein. (nicht signierter Beitrag von 2A02:908:D331:7C60:C1A3:BEB9:F933:2644 (Diskussion | Beiträge) 13:05, 8. Jul 2016 (CEST))

Nach kurzem Überfliegen: Dass "Polstelle" in erster Linie ein Begriff aus der Funktionentheorie wäre, ist für mich nicht offensichtlich. Polstellen von reellen rationalen Funktionen werden in der Schule behandelt. Das stellst du ja selbst fest. Ich vermute, dass die meisten Leser, die "Polstelle" suchen, die Polstellen von reellen rationalen Funktionen meinen. --Digamma (Diskussion) 14:46, 8. Jul. 2016 (CEST)

In jedem einführenden Lehrbuch über Funktionentheorie findet man eine Definition des Begriffs "Polstelle", aber ich kenne keine Stelle in der Literatur über reelle Analysis, wo der Begriff allgemein (und nicht nur für rationale Funktionen) definiert wird. Für entsprechende Hinweise bin ich dankbar. Für diejenigen, die sich über Polstellen rationaler Funktionen informieren wollen, kann man diese ja als Beispiel behandeln, aber in einer Enzyklopädie sollte nicht der Eindruck erweckt werden, dass sich das Thema darin erschöpft. (nicht signierter Beitrag von 2A02:908:D331:7C60:C1A3:BEB9:F933:2644 (Diskussion | Beiträge) 22:19, 12. Jul 2016 (CEST))

Von erschöpfen habe ich ja auch nicht gesprochen. Aber die Polstellen rationaler Funktionen sind elementarer als die von holomorphen, deshalb sollten sie am Anfang des Artikels stehen. Es muss möglich sein, sich über Polstellen reeller rationaler Funktionen zu informieren, ohne etwas über komplexe Zahlen und holomorphe Funktionen zu wissen oder sich in dieses Thema einarbeiten zu müssen. --Digamma (Diskussion) 06:59, 13. Jul. 2016 (CEST)

Man könnte auch auf den Artikel "Definitionslücke" verweisen, wo Singularitäten reeller Funktionen allgemein behandelt werden.--2A02:908:D331:7C60:C1A3:BEB9:F933:2644 13:28, 24. Jul. 2016 (CEST)

Definition

Falls es ein $k\in \mathbb {N} _{0}$ gibt, sodass $\textstyle \lim _{z\to a}(z-a)^{k}\cdot f(z)$ in $\mathbb {C}$ existiert, so kommt es zu folgenden Fällen:
* $k=0$: Dann ist $f$ auf $a$ holomorph fortsetzbar.
* $k\geq 1$ und $k$ kleinstmöglich gewählt, dass der Grenzwert existiert. Dann liegt ein Pol der Ordnung $k$ vor.

Hier muss der Grenzwert doch nicht nur existieren, sondern auch ungleich Null sein.—Butäzigä (Diskussion) 11:25, 25. Mär. 2022 (CET)