Diskussion:Grenzwert (Folge)/Archiv

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[[Diskussion:Grenzwert (Folge)/Archiv#Thema 1]]

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Einleitungssatz

Die von Benutzer:80.171.117.150 vorgenommene Änderung des Einleitungssatzes war mMn nach nicht erforderlich, da die alte Definition richtig war. So wie es vorher da stand, müssen zu jeder Umgebung 'ab einem bestimmten Index' alle Folgenglieder in der Umgebung liegen. Wenn es zu einer bestimmten Umgebung endlich viele gibt, die nicht darin liegen, dann findet man eben einen späteren Index, ab dem doch alle drin liegen. Der Index ist abhängig von der gewählten Umgebung. --Doodee 14:24, 4. Dez 2004 (CET)

Der Einleitungssatz ist in meinen Augen furchtbar. Jeder Mathematiklehrer würde die Formulierung bemängeln. Sie öffnet falschen Veranschaulichungen Tür und Tor, z.B. könnte man schließen, dass der Grenzwert stets ein Folgenglied sein muss. Von "dem Glied mit Index unendlich" zu sprechen macht genau so viel Sinn wie von "der größten natürlichen Zahl", nämlich keinen. Was ist mit divergenten Folgen? Was kann ich mir da unter dem Glied mit Index unendlich vorstellen? Ich befürworte eine umgangssprachliche, anschauliche Erklärung in der Einleitung, schlage aber eher eine Formulierung wie "Unter einem Grenzwert einer Zahlenfolge versteht man eine Zahl, der sich die Folgenglieder mit wachsendem Index n beliebig dicht annähern." Ich werde das morgen mal ausformulieren und ändern.Leisefuchs 01:41, 9. Apr. 2007 (CEST)

Die Einleitung ist schrecklich. Sie hat keinen Mathematischen Ansprung und ist übersäht mit Beispielen, wobei eines der Beispiele bis eben auch noch falsch war... Evt. kann man die Beispiele in einem Unterpunkt einordnen und die Konvergenz von Folgen bzw. den Grenzwertbegriff bei Folgen besser erklären. --130.149.58.213 14:02, 27. Mai 2010 (CEST)

Das Beispiel war schon richtig. ${\frac {1}{n}}$ ist konvergent, $\sum _{n}{\frac {1}{n}}$ hingegen divergent. --NeoUrfahraner 14:23, 27. Mai 2010 (CEST)

Der Einleitungssatz "... mit wachsendem Index immer mehr einer bestimmten Zahl anzunähern." ist aus fachlicher Sicht falsch, denn die Folge ${\frac {1}{n}}$ kommt auch der Zahl -1 immer näher (sie ist jedoch nicht der Grenzwert!). Die Formulierung müsste eher in Richtung " ... kommt einer bestimmten Zahl mit wachsendem Index beliebig nahe." oder "jeder vorgegebene Abstand zu der Zahl, kann ab einem gewissen Index unterschritten werden.". Ich beziehe mich bei dieser Aussage auf Danckwerts, Rainer; Vogel, Dankwart (2006): Analysis verständlich unterrichten. Berlin: Spektrum Akademischer Verlag, S.26. [Kommentar vom 14.06.2015] (nicht signierter Beitrag von 178.18.164.247 (Diskussion) 21:19, 14. Jun. 2015 (CEST))

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Inhaltsgleich mit Konvergenz (Mathematik)

Fast inhaltsgleich mit Limes (Mathematik) --qwqch 21:39, 8. Feb 2005 (CET)

Höchstens zusammenführen, mal drüber nachdenken. Deine Bilder halte ich übrigens für nicht hilfreich: konvergente und divergente Funktion sind keine stehenden Begriffe und die Bilder zeigen auch nichts, was großartig mit dem Artikel zu tun hat. Viele Gruesse --DaTroll 11:16, 9. Feb 2005 (CET)

"konvergente und divergente Funktion sind keine stehenden Begriffe und die Bilder zeigen auch nichts, was großartig mit dem Artikel zu tun hat." Ja wie? also kovergent und divergent bezogen auf Funktionen sind ja wohl absolut "stehende Begriffe", die werden sogar im Artikel selbst benutzt. Und der Artikel eißt ja wohl Konvergenz (Mathematik) , also was könnte mehr mit dem Artikel zu tun haben als konvergente und nicht konvergente Beispiele zu illustrieren? Weis echt nicht was du meinst. Gruß --qwqch 14:38, 10. Feb 2005 (CET)

Nein, die Begriffe stehen nicht im Artikel. Und ich habe sie in Deinen Abbildungen das allererste mal gelesen. Im Artikel stehen konvergente und divergente Folgen (auch funktionenfolgen), aber nicht konvergente und divergente Funktionen. Viele Gruesse --DaTroll 20:20, 10. Feb 2005 (CET)

Ja, ein Abgleich der beiden Artikel waere noetig. Was soll in "Konvergenz" beschrieben werden, was in "Limes"? Die beiden Begriffe sind ja sehr eng gekoppelt: Eine Folge konvergiert, wenn ein Limes existiert. Mit anderen Worten lautet meine Frage: Gibt es etwas ueber Grenzwerte zu berichten, das mit Konvergenz nichts zu tun hat, oder umgekehrt? Wenn nicht, dann sollten die Artikel zusammengefuehrt werden.

Die Bilder mit den Funktionen wuerden mit einer Erklaerung (wo konvergieren/divergieren die Fkt?) im Konvergenz-Artikel hilfreich sein. Fuer Konvergenz von Folgen braeuchte man andere Bilder. --SirJective 12:50, 10. Feb 2005 (CET)

Also ich halte es unbedingt für sinnvoll, zwei Artikel zu haben. Der längere wird wohl der hier, mit allem was einem so zur Konvergenz einfällt (schwach, absolut, wasauchimmer). Im Grenzwert-Artikel Grenzwerte von Folgen, dann kontinuierliche Grenzwerte und vor allem Geschichte, die man da IMHO viel besser plazieren kann. Viele Gruesse --DaTroll 10:01, 14. Feb 2005 (CET)

Ich wuerde Konvergenz ausschliesslich im Zusammenhang mit Folgen/Reihen verwenden, nicht mit Funktionen (damit meine ich lim f(x), nicht Funktionenfolgen lim f_n).--Gunther 00:14, 26. Feb 2005 (CET)

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Systematik

Nach rechts ist der Zielraum aufgetragen, nach unten der Argumentraum. In den Zellen stehen jeweils Stichworte, die mir zu den Kombinationen eingefallen sind.

	$\mathbb {R}$	metrischer Raum	topologischer Raum
$n\to \infty$	monoton und beschränkt	$\varepsilon ,n_{0}$	Abzählbarkeitsprobleme
$x\to \infty$	Asymptoten	unwichtig
$x\to x_{0}$ in $\mathbb {R}$ oder metrischem Raum	$\varepsilon ,\delta$; Folgendefinition		unwichtig
$x\to x_{0}$ in topologischem Raum	Stetigkeit (Topologie)

Mir scheint deshalb folgende Aufteilung sinnvoll:

• Grenzwert (Folge) in (vollständigen) metrischen Räumen; weitgehend elementar
• Konvergenz von Reihen wegen Kriterien separat
• Grenzwert (Funktion) für die metrischen Räume inkl. $\infty$
• Grenzwert (Topologie) für den allgemeinen Fall, auch Folgen und Netze

(Ich halte "Grenzwert" für den fundamentalen Begriff und nicht "Konvergenz"; und "Limes" finde ich übertrieben.) Ein Problem bei dieser Aufteilung wäre, wenn jemand schwache Konvergenz ohne die schwache Topologie erklären will, das müsste dann in einen separaten Artikel. Ansonsten Verbesserungsvorschläge? Habe ich etwas übersehen?-- Gunther 16:09, 7. Apr 2005 (CEST)

• finde eine aufteilung sinnvoll, vor allem find ich es ungeschickt, im artikel zu "limes" den limes von funktionen VOR dem limes von folgen zu erklären, da der funktionen-limes auch über

den folgen-limes definiert bzw. angegeben werden kann als alternative zur epsilon-delta-regel.

ich wäre dafür, einmal allgemein zu erklären, was mit konvergenz gemeint ist. (anschaulich

mit dem "immer näher kommen", dann exakt durch norm und epsilon und so) dann verweise auf spezialgebiete, z.b. unendliche reihen. bei folgen ist doch sicher auch noch mal die konvergenz von folgen erklärt?

trotzdem sollte ein artikel mit dem namen "grenzwert" weiter existieren, da sicher häufig genau danach gesucht wird. möglicherweise redirekt auf "konvergent" dann? (nicht signierter Beitrag von Prometeus (Diskussion | Beiträge) 7. Mai 2005, 00:43 Uhr)

Ich habe vor, in den nächsten Tagen den Artikel Konvergenz (Mathematik) auf Grenzwert (Folge) umzubenennen, den Artikel Limes (Mathematik) auf Grenzwert (Funktion) umzubenennen und dann die Inhalte entprechend umzustukturieren. Meinungen dazu bitte hier oder noch besser auf Portal_Diskussion:Mathematik#Konvergenz_.28Mathematik.29_und_Limes_.28Mathematik.29 --NeoUrfahraner 06:51, 21. Apr 2006 (CEST)

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(in alphabetischer Reihenfolge) sowie von mehreren anonymen Autoren. --NeoUrfahraner 10:37, 26. Apr 2006 (CEST)

Überarbeiten

Ich habe jetzt den ersten Teil der Umstrukturierung abegschlossen, im Detail ist noch einiges zu glätten, daher der "Überarbeiten"-Hinweis. --NeoUrfahraner 11:04, 26. Apr 2006 (CEST)

Grenzwert als stetige Fortstetzung

Ich habe vorerst folgenden Satz entfernt:

Fasst man eine Folge (a_n) als Abbildung von N in die reellen Zahlen (oder einen anderen topologischen Raum) auf, und bezeichnet man den zusätzlichen Punkt in der Ein-Punkt-Kompaktifizierung Y von N mit ∞, so bedeutet die Aussage: „(a_n) konvergiert gegen a“, nichts anderes als: „a_n lässt sich durch a_∞ = a stetig auf Y fortsetzen“.

Der Satz ist meiner Meinung nach mehr verwirrend als erhellend. Behalten oder Streichen? --NeoUrfahraner 10:09, 29. Apr 2006 (CEST)

Das hatte ich wahrscheinlich mal als Reaktion auf eine Frage nach der präzisen Bedeutung des "Folgengliedes mit Index unendlich" im Einleitungssatz eingefügt.--Gunther 18:45, 2. Mai 2006 (CEST)

Wenn wir's behalten, gehört es meines Erachtens ein wenig ausführlicher und besser motiviert. Die Alexandroff-Kompaktifizierung findet sich übrigens bereits in Kompaktifizierung. --NeoUrfahraner 20:51, 2. Mai 2006 (CEST)

Ist mir egal, wie man das macht. Meinst Du, man sollte die ganzen Kompaktifizierungen in einen Artikel packen?--Gunther 20:56, 2. Mai 2006 (CEST)

Zu Kompaktifizierung: ich will nur darauf hinweisen, dass es bereits einen Artikel gibt, in dem die Alexandroff-Kompaktifizierun abgehandelt wird. Der Kompatifizierungs-Artikel ist derzeit eher kurz; eine Aufspaltung halte ich daher momentan nicht für sinnvoll. Wenn aber jemand mehr dazu zu sagen hat, spricht meiner Meinung nach nichts gegen eine Teilung. Evtl. könnte man jetzt schon redirects anlegen. --NeoUrfahraner 21:19, 2. Mai 2006 (CEST)

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Bedingte Konvergenz

Könnte dann mal jemand darüber etwas sinnvolles sagen im Gegensatz zu absoluter Konvergenz. Oder was ist das für eine Konvergenz bei der alternierenden harmonischen Reihe? Diese Art der Konvergenz stellt doch wohl den Löwenanteil an Grenzwerten. Ansonsten verwirrt mich der falsche Hinweis auf Zenons gelöste Paradoxien. Man kann aus einem Kreis zwei machen. Da ist nichts zu lösen. Zu oben: Abzählbarkeitsproblem: Haben die etwas mit Wohlanordnung, Auswahlaxiom, Kontinuum zu tun? Dann geht es doch so oder auch anders. --Roomsixhu 23:27, 21. Sep 2005 (CEST)

1. Siehe absolute Konvergenz unter "Eigenschaften". 2. Zenon habe ich rausgeworfen. 3. In Räumen, die das erste Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllen, impliziert Folgenkonvergenz nicht Konvergenz, d.h.: Ist $f$ eine Funktion, so kann es sein, dass der Grenzwert $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ nicht existiert, aber für jede Folge $x_{n}\to x_{0}$ der Limes $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})$ existiert. (Standardbeispiel: Ist $\varepsilon _{0}$ die kleinste überabzählbare Ordinalzahl, dann ist $X=[0,\varepsilon _{0}]$ mit der Ordnungstopologie so ein Raum. Setze beispielsweise $f(x)={\begin{cases}1&x=\varepsilon _{0}\\0&\mathrm {sonst} \end{cases}}$ und $x_{0}=\varepsilon _{0}$.)--Gunther 23:48, 21. Sep 2005 (CEST)

Prompte Antwort! Das meinte ich (Unter Eigenschaften, das zweite). Hat das dann auch einen eigenen Namen? Zum Abzählbarkeitsaxiom

Ich habe auch schon mal so einen Gedankengang nachvollzogen, aber nicht in genau diesem Zusammenhang. Sich eines Grenzwertes zu versichern, las ich auch mal in anderem Zusammenhang. Schlage ich mal nach. Ansonsten ist Zahl doch auch ein philosphisches Problem.--Roomsixhu 00:18, 22. Sep 2005 (CEST)

Ähm, das hast Du doch schon in die Überschrift geschrieben: "bedingte Konvergenz".--Gunther 00:21, 22. Sep 2005 (CEST)

Verstehe ich nicht, wieso Du Zenon rausgeworfen hast? Als Anmerkung gehört das doch genau hierhin? --DaTroll 08:56, 22. Sep 2005 (CEST)

Nein, der Konvergenzbegriff hilft beim Verständnis der Paradoxa nicht. Dass Achilles der Schildkröte "beliebig nahe" kommt (also $\forall \varepsilon \exists n_{0}$) oder dass die betrachteten Zeitpunkte dem Zeitpunkt des Überholens beliebig nahe kommen, war Zenon vermutlich auch klar. Unendlich viele Weg- oder Zeitabschnitte können aber auch Mathematiker nicht addieren.--Gunther 09:52, 22. Sep 2005 (CEST)

Das glaube ich nicht. Dann könnte man ja die Zahlwerte, die bedingt konvergente Reihen darstellen nicht addieren. Aber gerade der Mathematiker addiert beliebige Zahlgrößen. Die Art ihrer Entstehung hindert den Mathematiker nicht damit umzugehen, zu addieren, denn das geht ja immer gleich.. Vielleicht weiß der Mathematiker auch gar nicht, was der Begriff Zahl ist.--Roomsixhu 10:12, 23. Sep 2005 (CEST)

Dass eine unendliche Reihe einen "Wert" hat, ist eine Grenzwertaussage, also eine Aussage über das Verhalten der Folge der endlichen Teilsummen. Mehr nicht.--Gunther 10:26, 23. Sep 2005 (CEST)

Gleichheit von Werten für Zahlgrößen zu zeigen ist nicht so trivial.

• Weierstraß mußte für bedingt konvergente Reihen eine Vergleichsreihe einführen. Damit ging aber sein gesamter gegenständlicher Ansatz aufbauend auf dem Zählen verloren.
• Mengenlehre hat keinen zählenden Ansatz sondern einen schon gerechneten der Relationen, und Zählen ist darin sehr schierig oder zweideutig.
• Cauchy beweist die Grundrechenarten jeweils für Werte und Zahlgrößen gesondert.

Unbestimmte Zahlen oder Zahlgrößen kann man sich auf zwei Arten bilden: "Das Zählen, und damit der Zahlbegriff, beruht darauf, daß sich der menschliche Geist Vorstellungen von Dingen bilden kann und daß er solche Vorstellungen wiederholt zu reproduzieren vermag. Es sind also zweierlei geistige Operationen möglich:

1. Die Reproduktion einer Vorstellung eines Dinges,
2. aus einem gegebenen Aggregat von Dingen die Vorstellung verschiedener, die unter denselben Begriff fallen, aufnehmen."

"Der Wert einer Zahlgröße ist deren nicht näher erklärte Bedeutung. Das mathematische Problem ist festzustellen, wann zwei solche Werte gleich sind." (D.Spalt). Ich verstehe das so, sind a und b zwei bedingt konvergente Reihen mit gleichem Grenzwert, wie zeigt man das?--Roomsixhu 22:09, 2. Okt 2005 (CEST)

Dürfen Mathematiker heutzutage noch guten Gewissens zählen, falls sie wissen, was das ist, oder können sie nur rechnen? ;-) --Roomsixhu 16:22, 24. Sep 2005 (CEST)

OK, das ist natuerlich ein Punkt, allerdings war das die Keimzelle des Geschichtsabschnitts :-) Ich habe Zenon durch Cauchy ersetzt. --DaTroll 10:14, 22. Sep 2005 (CEST)

Natürlich habe ich das in die Überschrift geschrieben, aber warum steht es in der ganzen Wikipedia nicht? Da war ich etwas verunsichert. Und da ich es nicht richtig erklären kann, bleibt mir die Frage: Sind bedingt konvergente Reihen irgendwie gechlossen handhabbar oder darstellbar und gibt es dort auch Kriterien? Majoranten- und Minoranenkriterium oder sowas. Oder ist das schon alles Topologie?--Roomsixhu 09:28, 22. Sep 2005 (CEST)

Mir ist nur das Leibnizkriterium bekannt (und natürlich die Kriterien, die absolute Konvergenz implizieren wie Quotienten- oder Wurzelkriterium).--Gunther 10:26, 22. Sep 2005 (CEST)

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Divergenz

zur zeit ist Divergenz etwas unterrepräsentiert, insbesondere die von Funktionen: Divergenz: "die Nichtexistenz eines Grenzwertes einer Folge, siehe Konvergenz (Mathematik)" - das ist alles.., selbst in Limes (Mathematik)#Limes einer reellen Funktion steht nichts.

• $\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$ .. divergent
• $\lim _{x\to \infty }(f(x)-g(x))=0$ mit g(x) divergent
  • g(x) eine Gerade k≠0 .. schräge Asymptote
  • g(x) keine Gerade: erweiterter Asymptotenbegriff

z.b.$\lim _{x\to \infty }(x^{2}-{1 \over x})=x^{2}$

• es gibt keine mögliche Gerade: heißt das nicht "hyperlinear divergent"???
• es gibt keine mögliche rationale Funktion: "hypergeometrisch divergent"???

z.b.$\exists x:e^{x}>x^{n}\forall n\Leftrightarrow \lim _{x\to \infty }(e^{x}-x^{n})=\infty$

--W!B: 20:00, 15. Okt 2005 (CEST)

Mit Ausnahme der bestimmten Divergenz sind das halt Konvergenz- und nicht Divergenzaussagen. Wie oben angemerkt, scheint mir die derzeitige Aufteilung der Thematik ohnehin unglücklich; für Kommentare bin ich immer noch dankbar.--Gunther 20:42, 15. Okt 2005 (CEST)

Vieleicht wäre es Sinnvoll einen Artikel Divergenz (Folgen und Reihen) anzulegen? Da der Aspekt weder hier bei Konvergenz noch bei Divergenz (Mathematik) richtig auftaucht. Bostich 20:30, 25. Okt 2005 (CEST)

Oh, habe eben im Artikel rumgepfuscht, ohne zu sehen, dass das hier schon diskutiert wird. Wollte mich eigentlich nicht weiter einmischen, da eher unentschlossen und nicht gerade ausgesprochen kompetent. --Wolfgangbeyer 21:44, 25. Okt 2005 (CEST)

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Komplizierter als es tatsächlich ist!

Ich glaube der Autor hat das Prinzip des Verfassens von mathematischen Veröffentlichungen nicht verstanden, zu mindest was Wikipedia betrifft. Man sollte komplexe Dinge so leicht erklären wie es nur möglich ist, das ist hier definitiv nicht der Fall! Der Autor muss bedenken, dass auch schon Schüler das Thema "Konvergenz/Divergenz von Folgen" in der Schule behandeln, welche bei dieser Erklärung kläglch verzweifeln würden. Tip: Versuche deine Erklärung etwas verständlicher für die allgemeine User-Gemeinde zu schreiben!

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Grenzwert vs Limes

Das Thema lautet Grenzwert(Folge). Warum identifiziert man hier nur Grenzwert mit Limes. In einem gewissen Sinne hat eine Folge , die ein Maximum hat und nicht konvergiert, einen Grenzwert.Ich denke an Schranken...

Mir ist unklar warum die Dezimalbruchentwicklung für Wurzel(2) in Q divergiert! Schließlich gibt es doch einen Grenzwert und man findet zu jedem Epsilon ein entsprechendes N. Da ich keine Definition für Divergenz in Q finden konnte, habe ich angenommen, dass Divergenz dann vorliegt, wenn es keinen Grenzwert gibt. Des Weiteren wird auch nirgendwo Vorausgesetzt, dass a in Q liegen muss. (Diese Voraussetzung würde sich auch schwer mit dem Satz/Definition, dass eine Menge genau dann abgeschlossen ist, wenn sie die Menge ihrer Häufungspunkte enthält vertragen. --Schubi87 15:39, 3. Mai 2007 (CEST)

Das ganze wird natürlich erst in der Topologie richtig klar, aber schau Dir z.B Definition 1.7 in http://users.math.uni-potsdam.de/~baer/DiffGeo/topo.pdf an: dort wird verlangt, dass der Grenzwert in der betrachteten Menge liegt. Zu Deiner konkreten Frage: wie defnierst Du ${\sqrt {2}}$ überhaupt? --NeoUrfahraner 16:56, 3. Mai 2007 (CEST)

Definieren würde ich ${\sqrt {2}}$ als die positive Lösung der Gleichung $x^{2}=2$. Anschaulich als die Diagonale eines 1x1 Quadrats. Aber wieso ist die Definition von ${\sqrt {2}}$ wichtig? --Schubi87 17:39, 3. Mai 2007 (CEST)

Die Gleichung $x^{2}=2$ hat aber keine Lösung in Q. Das ist insofern wichtig, als es ${\sqrt {2}}$ noch nicht gibt, solange Du es nicht sauber definierst. Solange es aber ${\sqrt {2}}$ noch nicht gibt, hast Du auch noch keinen Grenzwert für die Dezimalbruchentwicklung von ${\sqrt {2}}$. --NeoUrfahraner 17:44, 3. Mai 2007 (CEST)

Das stimmt. Dennoch kann ich mich dem Grenzwert beliebig genau nähern, und in die Folge verhält sich genau wie im reellen. Würde man die Reellen Zahlen nicht kennen, und eine Folge die gegen Wurzel 2 konvergieren würde untersuchen, käme man sicherlich nicht auf die Idee, dass die Folge divergiert. Da sie alle Eigenschaften besitzt, die man von konvergenten Folgen kennt. Wo liegt also der Vorteil darin, dass man Folgen die (topologisch) einen Grenzwert auf dem Rand ihrer "Zielmenge" haben die Konvergenzeigenschaft aberkennt. --Schubi87 18:47, 3. Mai 2007 (CEST)

Wie müßte die Definition der Konvergenz Deiner Meinung nach richtig aussehen? Konvergiert nach Deiner Vorstellung die Folge $x_{n}=n$? Konvergiert nach Deiner Vorstellung die Folge $x_{n}=(-1)^{n}n$? --NeoUrfahraner 07:01, 4. Mai 2007 (CEST)

Ich denke die Definition von Konvergenz ist schon ganz richtig nur mit der Interpretation, dass die rationale Folge gegen Wurzel 2 divergiert habe ich meine Schwierigkeiten.

d.h. :

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (a_n) in X heißt konvergent wenn gilt:

$\exists (!)a\in {\overline {X}}:\quad \forall {\varepsilon >0}\ \exists \ N\in \mathbb {N} \;\forall \ n>N:\quad d(a,a_{n})<\varepsilon$

Nun ist Wurzel 2 zwar auf dem Rand ${\sqrt {2}}\in \partial \mathbb {Q}$ aber nicht in Q ${\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q}$ --Schubi87 16:24, 4. Mai 2007 (CEST)

Und wie definierst Du den Abschluss ${\overline {X}}$ und den Rand einer Menge? Beachte insbesondere, dass in der Standardtopologie der rationalen Zahlen die Menge $\left\{q\left|{\frac {1}{2}}<q^{2}<2\right.\right\}$ abgeschlossen ist (sie ist auch gleichzeitig offen, aber das ist kein Problem, vgl. Abgeschlossene offene Menge). Der Rand ist leer, denn insbesondere gibt es ja keine ratioinale Zahl, die am Rand liegt. --NeoUrfahraner 17:11, 4. Mai 2007 (CEST)

Ich sehe das Problem. Ich hatte den Rand als die Menge aller Häufungspunkte, wobei Häufungspunkte die Grenzwerte von Folgen in der Menge sind, definiert. Aber das hilft hier nicht, weil wir Q nicht als Teilmenge von R betrachten können. Ich denke ich verstehe auch, warum Folgen in Q normalerweise nicht betrachtet werden. Um die Konvergenz dennoch zu vertreten müsste man sie etwas abschwächen:

??Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (a_n) in X heißt konvergent wenn gilt:

$\forall {\varepsilon >0}:\exists a(\varepsilon ):\exists \ N\in \mathbb {N} \;\forall \ n>N:\quad d(a,a_{n})<\varepsilon$ Vielleicht sogar $a(\varepsilon )=a_{(N-1)}$ ??--Schubi87 17:58, 4. Mai 2007 (CEST)

Schubi87, Du meinst wohl das: ??Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (a_n) in X heißt konvergent wenn gilt: $\forall {\varepsilon >0}:\exists a(\varepsilon ):\exists \ N\in \mathbb {N} \;\forall \ n>N:\quad d(a(\varepsilon ),a_{n})<\varepsilon$. Man sollte seine Spekulationen schon möglichst frei von Syntaxfehlern kommunizieren. Stefan Neumeier (Diskussion) 15:33, 17. Nov. 2013 (CET)

So geht's im Prinzip; normalerweise nimmt man allerdings das Cauchykriterium bzw. betrachtet Cauchy-Folgen. Nur stellt man dann fest, dass man zwei Arten von Folgen hat, die das Cauchykriterium erfüllen, nämlich solche, deren Grenzwert in X liegt, und solche, die keinen Grenzwert in X haben. Der wesentliche Punkt ist, dass nicht jeder metrische Raum automatisch vollständig ist. Allerdings lässt sich jeder metrische Raum in einen vollständigen Raum einbetten, so wie die rationalen Zahlen in den reellen Zahlen. Worauf Du anscheinend hinaus willst, ist, dass sich jeder Cauchyfolge ein Grenzwert im vervollständigten Raum zuordnen lässt - dabei darf aber nicht vergessen werden, dass vorher der Schritt der Vervollständigung nötig ist. Wenn man das verstanden hat, erscheint es trivial - nur darf nicht vergessen werden, dass die Mathematiker 2000 Jahre gebraucht haben, bis sie das herausgefunden haben. --NeoUrfahraner 21:18, 4. Mai 2007 (CEST)

Also unanhängig von der genauen Definition ist Grenzwert lediglich das deutsche Wort für lateinischen Begriff bzw. das Fremdwort limes (siehe dazu z.B. Heuser: Lehrbuch der Analysis I, S. 144 oder Vieweg Mathematik Lexikon, S. 156), insofern macht da eine Unterscheidung keinen Sinn. Die entsprechenden Definitionen lauten immer ".... wird als Grenzwert oder Limes bezeichnet."--Kmhkmh (Diskussion) 16:15, 17. Nov. 2013 (CET)

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Wichtige Grenzwerte

Unter "Wichtige Grenzwerte" werden zwei Grenzwerte von Reihen angegeben. Da der Artikel allerdings die Grenzwerte von FOLGEN behandelt, sollten diese beiden Grenzwerte entweder gelöscht werden, oder es sollte (alternativ) eine entsprechende Folge angegeben werden. --Axel Wagner 13:44, 26. Aug. 2007 (CEST)

Vor langer Zeit habe ich die folgende Erläuterung (also keine genaue Definition) gelernt: Eine Nullfolge ist, wenn das Glied bei jeder Nummer immer kleiner wird. --Hanfried.lenz 12:25, 30. Aug. 2007 (CEST).

Naja, das gilt ja auch fuer $1+1/n$. --P. Birken 16:49, 30. Aug. 2007 (CEST)

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fast alle

Zu http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Grenzwert_(Folge)&oldid=50161563&diff=cur&diffonly=0 : "fast alle" ist natürlich korrekt, wenn man den Begriff verstanden hat; zur Erläuterung sollte man dann aber wohl auf fast alle verlinken. Bleibt nur die Frage, ob es für die OMA verständlich ist. "unendlich viele" ist zwar mit dem Hinweis auf "außerhalb jedoch nur endlich viele" korrekt, aber es besteht die Gefahr, dass man es mit dem Häufungspunkt verwechselt. Alternativ könnte man natürlich auch "ab einem gewissen Index alle" schreiben. Meinungen dazu? --NeoUrfahraner 18:13, 23. Sep. 2008 (CEST)

Ich habe auf "ab einem gewissen Index alle" geändert. Siehe dazu auch http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Grenzwert_(Folge)&diff=43789771&oldid=43763880 --NeoUrfahraner 07:41, 24. Sep. 2008 (CEST)

"ab einem index alle" ist umstaendlich und nicht gaengig. das sagt man in der regel nicht, sondern definiert absichtlich fast alle genau so. alle bis auf endlich viele. d.h. dann dass es von diesen endlich vielen ein maximales gibt und alle danach .., also genau die langform. man sollte sagen was fast alle heisst, und es dann benutzen. 91.15.132.80 18:48, 22. Apr. 2009 (CEST)

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Neuer Aufbau zur Erklärung und Motivation des Grenzwertbegriffs

Ich schlage vor, die Erklärung von "Grenzwert" völlig anders aufzubauen. Beginnt man - wie im Artikel - mit der Espilontik, dann erschlägt man sofort seine Leser. Mein Vorschlag wäre, Grenzwerte von Folgen reeller Zahlen mit Hilfe von Endstücken zu erklären, deren abgeschlossene inf-sup-Intervalle sich anschaulich auf ein abgeschlossenes Intervall, nämlich lim inf bis lim sup, zusammenziehen. Ist das Intervall einpunktig, dann konvergiert die Folge und der eine Punkt ist der Grenzwert. Anschliessend erläutert man die Äquivalenz mit der Espilontik.

Ich warte bis Ende Februar 2009 auf Diskussionsbeiträge, bevor ich eine neue Version versuchsweise in die wikipedia stelle. ASlateff, Feb. 2009

man sollte mit umgebungen anfangen und dann den bekannten spezialfaellen besondere beachtung schenken. man sollte auch auf netze eingehen. 91.15.132.80 18:50, 22. Apr. 2009 (CEST)

Inzwischen sind ein paar Jahre vergangen... Indem ich den (exakten) Begriff "Umgebung" in den Abschnitt "Erläuterung und Definition" einbaute, unternahm ich gleichzeitig eine "vorsichtige Retouche" dieses Textteils, gab mir aber Mühe, senen "schülermäßig-frischen" Duktus möglich zu belassen. (Goethe wusste, warum er einige Knittelverse in der endgültigen Fassung von Faust I stehen ließ, und langweilig-zwanghafte, Schüler frustrierende, wenn auch höchst exakte Texte zu dem Thema gibt es ohnehin genügend viele.)

--Psychironiker (Diskussion) 23:27, 24. Nov. 2017 (CET)

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Epsilon-Umgebung

Es könnte noch ein schickes Bild der Epsilon-Umgebung zur Definition der Konvergenz gezeigt werden. Z.B. http://www.mathe-cd.de/images/News.h3.jpg nur nicht so grob und häßlich. --Skraemer 21:10, 28. Mär. 2009 (CET)

Mit oder ohne schickes Bild sollte eine exakte Definition von $U_{\varepsilon }(a)$ überhaupt im Text vorkommen. Das war bis jetzt nicht der Fall, weswegen ich das an den entsprechenden Stellen einfügte.

--Psychironiker (Diskussion) 23:28, 24. Nov. 2017 (CET)

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Alternierende Folge

ich würde sagen dass eine alternierende Reihe auch konvergent sein kann, nicht wie in Absatz 1 Beschriebn. Für was sonst gibt es ein Leibniz-Kriterium. Dieses ist zur bestimmung von Konvergenz bei alternierenden Reihen zuständig. (nicht signierter Beitrag von 86.56.180.103 (Diskussion) 17:19, 9. Mai 2012 (CEST))

Vorsicht: Es geht um Funktionen, nicht um Reihen. Aber du hast trotzdem Recht: auch alternierende Folgen können gegen 0 konvergieren. Ich habe den Satz deshalb entfernt.

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Eindeutigkeit des Grenzwertes

(1) Meines Erachtens wäre ein (Kurz-)Abschnitt zur Eindeutigkeit des Grenzwertes recht passend, weil diese Aussage in anderen mathematischen Zusammnehängen genutzt wird (vor allem bei Beweisen), und auch, weil die geläufige, einfache Beweisidee außermathematische Parallelen hat. So findet sich letztere beispielsweise in den Gottesbeweisen des Thomas von Aquin (quinque viae), die auch in sich völlig stimmig sind - auch hier hängt alles von den Voraussetzungen ab. Die Beweisdidee ist also interessanterweise einige Jahrhunderte älter als der Grenzwertbegriff selbst.

(2) Bei Gelegenheit könnte ich das hinzufügen - allerdings nur für die reelle Analysis. Überhaupt fehlt dem Artikel eine Definition des Grenzwerts für die Analysis komplexer Zahlen. Wer könnte das hinzufügen?

--Psychironiker (Diskussion) 12:03, 11. Nov. 2017 (CET)

Zu (1): Ja, zur Eindeutigkeit könnte/sollte man noch etwas schreiben. Zu (2): Schau mal weiter unten, da kommt der Abschnitt „Grenzwert einer komplexen Zahlenfolge“. Grüße -- HilberTraum (d, m) 18:39, 11. Nov. 2017 (CET)

zu (1): Geschehen; mit Epsilontik bekäme ich nur einen (langatmigeren) indirekten Beweis hin. - zu (2): Danke für den Hinweis.

--Psychironiker (Diskussion) 19:08, 11. Nov. 2017 (CET)

Danke, aber ich denke, die Eindeutigkeit müsste viel weiter oben eingebaut werden, noch bevor die Schreibweise $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ eingeführt wird. Die ist ja nur bei Eindeutigkeit sinnvoll. -- HilberTraum (d, m) 13:59, 12. Nov. 2017 (CET)

@HilberTraum: Hast leider (quoad Aufbau) Recht - Also doch mit Epsilontik. Das wird der übernächste Streich.

--Psychironiker (Diskussion) 14:47, 21. Nov. 2017 (CET)

Erledigt. --Psychironiker (Diskussion) 11:44, 25. Nov. 2017 (CET)

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