Diskussion:Einbettungssatz von Whitney

Minimale Dimensionen

Die englische Fassung weicht von den Dimensionsangaben ab, sie behauptet, dass $2n$ eine scharfe untere Grenze ist, und gibt die reellen projektiven Räume als Beispiel. Für $n=1$ ist die deutsche Fassung definitiv falsch.--Gunther 13:01, 29. Mär 2005 (CEST)

Die Dimensionsangabe war ein schnellschuss, ich glaube ich habs von plantetmath, da steht 2n+1. Man muesste die orginalquellen konsultieren. Die Angabe einer unteren Schranke mit Beispiel scheint mir allerdings nicht sinnvoll- klar kann man einige Mannigfaltigkeiten in eine kleine Dimension einbetten (die unterste Schranke waere aber n klarerweise). Durch Angabe eines Beispiels fuer die die einbettung in 2n funktioniert, zeigt man aber nicht dass das fuer alle Mannigfaltigkeiten geht. Warum ist n=1 definitiv falsch?. Wenn du mehr weisst, bitte verbessern, - topolgie ist nicht mein hauptgebiet Unyxos 20:30, 30. Mär 2005 (CEST)

Es ist deutlich leichter, eine Mannigfaltigkeit in einen $\mathbb {R} ^{N}$ für ausreichend großes $N$ einzubetten. Die Frage ist dann eben, welches minimale $N$ für alle $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeiten ausreichend ist. Natürlich gibt es Mannigfaltigkeiten, für die weniger ausreicht. Die Behauptung im letzten Satz des Artikels, dass $N=2n+1$ minimal sei, ist für $n=1$ falsch, da jede zusammenhängende eindimensionale Mannigfaltigkeit (ohne Rand) diffeomorph zu $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {S} ^{1}$ ist, sich also in den $\mathbb {R} ^{2}$ einbetten lässt. Die englische Seite behauptet, dass $N=2n$ minimal ist und für den $n$-dimensionalen projektiven Raum auch tatsächlich nötig ist.--Gunther 20:45, 30. Mär 2005 (CEST)

Die Frage ist doch: was ist die kleineste Zahl k sodass für alle n die Einbettung einer n-dimensionalen Mf in den R^k funktioniert. Wie gesagt ich habe schon beide Versionen gesehen k = 2n und k = 2n+1 und kann die Frage nicht beantoworten. Die minimale Zahl k wär die kleinste, Zahl für die dies für alle n geht. Dass man unter Umstaenden kleinere Zahlen k finden kann, wenn man die Menge der Manigfaltikeiten einschränkt, (zb. n=1 oder projektive Räume) ist klar, damit ist jedoch die ursprüngliche Aussage (2n+1 geht immer) nicht falsch. Um die Frage zu beantworten müsste man eine n-dimensionale Mf finden, die sich nicht in den R^2n einbetten laesst. (Die Beispiele (projektiver Raum) in der engl. Wp. sind jedoch soweit ich sehe positiv Beispiele d.h die Einbettung von n -> 2n funktioniert). Unyxos 21:38, 30. Mär 2005 (CEST)

Nein, das ist ein Negativbeispiel: der $n$-dimensionale projektive Raum kann nicht in einen $\mathbb {R} ^{N}$ mit $N<2n$ eingebettet werden, aber jede $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit kann in den $\mathbb {R} ^{N}$ eingebettet werden, sofern $N\geq 2n$ ist. (Laut englischem Artikel.) Ich schaue das nochmal nach, um eine unabhängige Referenz zu haben.--Gunther 22:21, 30. Mär 2005 (CEST)

Ich glaube du hast recht, die kleinste Dimension ist 2n - ich hab mir die quellen angeschaut, Whitney hat 1933? die Einbettun in R^(2n+1) bewiesen, und spaeter 1944? gezeigt, dass es immer eine Einbettung in R^(2n) gibt. (Zumindest fuer C^1 Mannigfaltikeiten.) Unyxos 23:53, 30. Mär 2005 (CEST)

Ich bezweifle dass N=2n überhaupt eine korrekte Schranke ist - betrachtet man z.B. eine "schiefe" Schraubenlinie als 1-dimensionale Mannigfaltigkeit, dann wird man keine überschneidungsfreie Einbettung in den IR^2 finden. Setzt man geschlossenheit voraus könnte das anders aussehen ... Das als Quelle angegebene Buch von Lee hab' ich grad nicht zur Hand, Jänich zitiert in seinem Buch "Vektoranalysis" diesen Satz in der N=n+1-Version. --Danol 13:40, 27. Jan. 2010 (CET)

Nachtrag: Im Bronstein, S. 894, steht der Satz mit N >= 2n+1. In "Einführung in die Differentialtopologie" von Theodor Bröcker,Klaus Jänich, findet sich die (nicht beweisene) Bemerkung dass es eine Verschärfung auf N=2n gibt ... was mich stutzig macht. Ich vermute da muss man die Voraussetzungen an irgendeiner Stelle verschärfen ...--Danol 13:45, 27. Jan. 2010 (CET)

deine "schiefe schraubenlinie" ist diffeomorph zu $\mathbb {R}$ und benötigt so nichtmal N = 2n.212.201.77.127 03:42, 19. Mai 2011 (CEST)

Hallo, die Literaturangabe wurde nachträglich von mir in den Artikel eingebaut. Das Buch sagt

Theorem6.12 (Whitney Embedding Theorem). Every smooth n-manifold admits an embedding into R2n+1 as a closed submanifold.

und

Theorem6.14 (Strong Whitney Embedding Theorem). Every smooth n-manifold admits an embedding into R2n.

Jedoch wird die letzte Aussage nicht bewiesen. --Christian1985 14:07, 27. Jan. 2010 (CET)

Der Unterschied liegt im Beweisaufwand. Die Aussage mit 2n+1 ist relativ einfach zu beweisen: Man muss nur die Mannigfaltigkeit in einen R^N mit einem großen N einbetten (das geht leicht) und dann auf einen 2n+1-dimensionalen Unterraum parallel projizieren (das funktioniert mit fast jeder Richtung ). Einbettungen in den R^2n zu bekommen ist aber wesentlich schwieriger. Zum Beispiel lässt sich mit Hilfe des eben skizzierten Verfahrens jede geschlossene 1-Mannigfaltigkeit in den R^3 abbilden. Die geschlossene Kurve, die man dabei erhält, ist aber i.A. verknotet. Wenn man sie auf den R^2 projiziert erhält man keine eingebettete Kurve, sondern eine Kurve mit Selbstüberschneidungen. -- Digamma 20:40, 3. Mär. 2011 (CET)

Ungenauigkeit bei Beispiel

Laut dem Artikel besitzt ja jede n-dimensionalen Mannigfaltigkeit eine abgeschlossene Einbettung in den R^2n, dem ich auch zustimme. Warum wird aber beim ersten Beispiel weiter unten eine eindimensionale Mannigfaltigkeit, die Kurve, widersprüchlich zum Satz in den R^3 statt in den R^2 (2*1) eingebettet? Es ist zwar klar dass die Einbettung in den R^3 nicht falsch ist, aber der Sinn zur Veranschaulichung des Satzes ist fraglich. Falls jemand, der sich in Diffgeo. ein wenig besser als ich auskennt, der selben Meinung ist, solle es bitte abändern.

sieht stark danach aus, dass das so unnütz ist

vorschlag:

Eine eindimensionale Mannigfaltigkeit ist eine Kurve. Nach dem Satz von Whitney gibt es also eine Einbettung in den $\mathbb {R} ^{2}$, die die Eigenschaft hat kreuzungsfrei zu sein. So ist zum Beispiel die Einbettung der $S^{1}$-Mannigfaltigkeit ein Kreis in der Euklidischen Ebene.

Ja, erstens ist eine eindimensionale Mfgkeit, sofern sie zusammenhängend ist, entweder R oder S^1; zweitens bezieht sich Whitney auf die Einbettung in den R^2; und drittens ist die Aussage, dass sich R und S^1 in den R^2 einbetten lassen, nicht sonderlich illustrativ. Ich lösche das mal.

Beweis

Gibts fertige Beweise oder zumindest eine Beweisskizze zu dem Einbettungssatz? Ein Satz ohne Beweis ist relativ sinnlos, finde ich. --83.187.187.186 22:21, 22. Sep. 2009 (CEST)

Körper

In dem Artikel wird vorausgesetzt, dass die Einbettung in einen euklidischen Raum über dem Körper der reellen Zahlen erfolgt. Lässt sich der Satz auch allgemeiner für beliebige Körper definieren? (nicht signierter Beitrag von 86.32.120.51 (Diskussion | Beiträge) 13:14, 8. Apr. 2010 (CEST))

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten gibt es nur über $\mathbb {R}$, nicht über beliebigen Körpern. Deshalb kann der Satz natürlich auch nicht auf beliebige Körper verallgemeinert werden. -- Digamma 20:35, 3. Mär. 2011 (CET)

Man könnte schon fragen, ob sich eine komplexe n-Mannigfaltigkeit in einen $\mathbb {C} ^{N}$ als komplexe Untermannigfaltigkeit einbetten läßt. Allerdings funktioniert das bei kompakten Mannigafltigkeiten NIE (und bei nichtkompakten nur wenn sie Steinsche Mannigfaltigkeiten sind).—Hoegiro (Diskussion) (ohne (gültigen) Zeitstempel signierter Beitrag von 회기-로 (Diskussion | Beiträge) 22:01, 23. Jul. 2020 (CEST))