Diskussion:Adjungierter Operator

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Ich verstehe den Abschnitt "Definition für beschränkte Operatoren" nicht. Also: A soll ein linearer Operator auf dem ganzen Hilbertraum sein, dann ist f, definiert als inneres Produkt von Ax und y, ein stetiges Funktional. Soweit OK, nur was ist y - beliebig, fest? Ich nehme an fest, und es soll heißen: für jedes fest gewählte y ist f wie oben definiert ein stetiges Funktional. - Aber muß es dann nicht im nächsten Absatz heißen: Für jedes (so gewählte) y aus H existiert dann ein eindeutig bestimmtes z aus H mit etc. ? So heißt es dann ja auch im nächsten Satz, und so scheint es mir Sinn zu ergeben. Gruß--Pangloss Diskussion 21:50, 7. Apr 2006 (CEST)

Du hast recht. Ich hab's mal geändert. -- Krlkch 20:33, 8. Apr 2006 (CEST)

Danke.--Pangloss Diskussion 21:26, 8. Apr 2006 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 23:50, 12. Dez. 2012 (CET)

Nur Hilbertraum?

"Lineare Operatoren können zwischen zwei Hilberträumen..." Irgendwie erzeugt das beim Leser das Gefühl, dass lineare Operatoren nur auf Hilberträumen definiert werden können. Gibt es auf Banachräumen keine Adjungierten? Im Artikel gibt es zwei Definitionen. Eine für beschränkte und eine für unbeschränkte. Sind die beiden tatsächlich grundverschieden oder ist das eine nicht doch eine Verallgemeinerung des anderen? (nicht signierter Beitrag von 130.83.72.156 (Diskussion) 22. Februar 2007)

Hm, lineare Operatoren kann man natürlich zwischen beliebigen VRen definieren, aber in Banachräumen ex. im Allgemeinen kein Skalarprodukt, deshalb benötitgt man für die Definition des adjungierten Operators einen Hilbertraum. --Christoph.sta 16:05, 3. Apr. 2008 (CEST)

Nicht unbedingt, siehe neuer Abschnitt im Artikel bzw. ein Funktionalanalysisbuch Deiner Wahl (Alt, Werner). Bei Alt ist der Hilbertraumfall sogar ein Spezialfall seiner allgemeineren Definition für normierte Räume. --Sabata 18:11, 3. Apr. 2008 (CEST)

dicht definiert?

Was heißt "dicht definiert"? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 79.201.205.128 (Diskussion • Beiträge) 7. Jun. 2008, 19:05)

"Dicht definiert" heißt, dass der Definitionsbereich dicht im eigentlichen Raum (meist Banach- oder Hilbertraum) liegt. --Sabata 19:20, 7. Jun. 2008 (CEST)

Vielleicht sollte man 'dicht definiert' noch definieren. Weiter sollte man vielleicht Operator definieren, oder auf eine mit der merkw"urdigen $T\colon X\supset D\to Y$ Notation kompatiblen Definition verweisen (ich finde leider keine). --ip-addresse

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 23:52, 12. Dez. 2012 (CET)

selbstadjungiert -> hermitesch für unbeschränke Operatoren?

Laut den Definitionen ist hermitesch nur für beschränkte Operatoren definiert. Müsste es dann nicht heißen: selbstadjungiert-> symmetrisch für unbeschränkte Operatoren? --Gerlach 15:07, 10. Jun. 2010 (CEST)

Ich verstehe dich nicht ganz. Falls der Operator beschränkt, also stetig, ist, fallen die Definitionen zusammen. Denn ein stetiger Operator ist immer dicht definiert. Also muss man dicht definiert nur fordert, wenn man mit unbeschränkten Operatoren hantiert. Oder? --Christian1985 17:22, 10. Jun. 2010 (CEST)

Hier sollte nochmal drüber geschaut werden. Ich kenne die Definitionen von hermitsch, symmetrisch und selbstadjungiert so: T ist hermitesch wenn <Tx,y>=<x,Ty> für alle x,y aus D(T) (also die Definition von "symmetrisch" im Artikel); T ist symmetrisch wenn T dicht definiert und hermitesch ist (hierbei gilt D(T) ist enthalten in D(T*)); und T ist selbstadjungiert wenn T symmetrisch und T=T* (d.h. D(T)=D(T*)) Beleg: Lineare Operatoren in Hilberträumen, Band 1 Von Joachim Weidmann--Tasomh 15:31, 8. Sep. 2010 (CEST)

Da scheint es wohl in der Literatur keinen Konsenz zu geben?! Walter Rudin definiert in seinem Buch Functional analysis, den symmetrischen Opreator genauso wie es im Artikel steht. Der Begriff des hermitischen Operators taucht in dem Buch nur bei beschränkten Operatoren auf und wird äquivalent zum selbstadjungierten Operator verwendet. Vielleicht sollte deutlicher gemacht werden, dass die Begriffe in der Literatur unterschiedlich verwendet werden, jedoch können wir hier nicht jeder Konvention gerecht werden. --Christian1985 16:58, 8. Sep. 2010 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 23:53, 12. Dez. 2012 (CET)

Adjungierter Operator:

Beispiele wären vorteilhaft. FS, 3Dez2010 (nicht signierter Beitrag von 84.150.232.58 (Diskussion) 14:51, 3. Dez. 2010 (CET))

Habe endlich mal die zwei grundlegensten Beispiele ergänzt.--Christian1985 (Disk) 23:53, 12. Dez. 2012 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 23:53, 12. Dez. 2012 (CET)

symmetrischer Operator

sollte "symmetrischer Operator" nicht besser auf selbstadjungierter Operator redirecten?--92.203.83.250 19:05, 14. Mär. 2012 (CET)

Im Prinzip ist das wohl egal. Beide Artikel bieten ja nicht mehr als die Definition des symmetrischen Operators. Ein eigener Artikel wäre das Mittel der Wahl. --Christian1985 (Diskussion) 19:08, 14. Mär. 2012 (CET)

Habe den redirect geändert.--92.203.83.250 20:20, 14. Mär. 2012 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 23:54, 12. Dez. 2012 (CET)

Eigenschaften adjungierter Operatoren

Im zweiten Punkt steht das Ran doch für Range (im Sinne von Bild der Abbildung) anstatt für Rank, oder?! --91.66.138.177 21:02, 28. Mai 2012 (CEST)

Japps --Christian1985 (Diskussion) 21:05, 28. Mai 2012 (CEST)

Dann sollten wir die momentan falsche Verlinkung korrigieren. --91.66.138.177 21:09, 28. Mai 2012 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 23:55, 12. Dez. 2012 (CET)

Adjungierter Operator vs. Adjungierte Abbildung

Hallo zusammen,

gibt es einen Unterschied zwischen einem Adjungiertem Operator und einer Adjungierten Abbildung? (Ich kenne Operatoren als spezielle Abbildungen der Form $+:A\times A\rightarrow A$, also würde das dafür sprechen, dass es Adjungierte Abbildungen gibt, die keine Adjungierte Operatoren sind)

Hier mal ein Beispielversuch:

Sei V ein $\mathbb {R}$-Vektorraum mit dem Standardskalarprodukt ($\langle a,b\rangle =a\cdot b$)

Sei $\Phi :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine lineare Abbildung und definiert durch $\Phi (x):=2\cdot x$.

Sei $\Phi ^{*}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine lineare Abbildung und definiert durch $\Phi ^{*}(x):=2\cdot x$.

Es gilt:

$\langle \Phi (x),y\rangle =\langle x,\Phi ^{*}(y)\rangle$

Also ist $\Phi ^{*}$ die adjungierte lineare Abbildung zu $\Phi$.

Man kann bestimmt noch bessere Beispiele nehmen, z.B. wenn die (lineare) Abbildung den Vektorraum wechselt (also $\Phi :V\rightarrow W$). Dann gibt es dazu immer noch adjungierte lineare Abbildungen, aber würde man dazu dann auch Adjungierter Operator sagen?

Grüße, --Martin Thoma 11:50, 23. Aug. 2012 (CEST)

Operatoren im Simm dieses Artikels sind lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen. Dein angeführtes Beispiel ist sehr elementar, aber ich denke auch hier kann man von Operatoren und den adjungierten sprechen. Betrachtet man nun jedoch Operatoren zwischen Banachräumen (und nicht auf einem Hilbertraum) so kann man den Operator aufgrund des fehlenden Skalarproduktes nicht mehr adjungierten, aber mittels der Dualen Paarung kann man den dualen Operator betrachten, was etwas ähnliches ist und auch in diesem Artikel agesprochen wird. --Christian1985 (Diskussion) 12:14, 23. Aug. 2012 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 23:56, 12. Dez. 2012 (CET)

Beispiel

Hallo, könnt ihr die Beispiele etwas ausführlicher kommentieren? So dass man sie auch ohne Mathestudium verstehen kann, wäre super ;) Beispiel: was bedeutet der Strich in der letzten Zeile über den Werten? --87.162.19.102 00:34, 19. Dez. 2014 (CET)

Den Strich habe ich mal erklärt. Gibt es sonst noch was, was man nicht versteht?--Sanandros (Diskussion) 21:27, 9. Dez. 2018 (CET)

Ist das komplex Konjugierte dort überhaupt notwendig, da der Kernel $k(s,t)$ sowieso nur auf die reellen Zahlen abbildet? --LamBOO (Diskussion) 12:34, 8. Jul. 2020 (CEST)

Dualitätsprodukt

Ist in Adjungierter_Operator#Verallgemeinerung_auf_Banachräume nicht auch das Dualitätsprodukt beschrieben? Es sieht für mich sehr nach dem aus was in Lineare Funktionalanalysis - Eine anwendungsorientierte Einführung (ISBN 978-3-642-22261-0) auf S. 231 beschrieben wird.--Sanandros (Diskussion) 09:39, 12. Mär. 2018 (CET)

@HilberTraum: evtl kannst du mir helfen?--Sanandros (Diskussion) 21:27, 9. Dez. 2018 (CET)

Hallo, ich habe vermutlich eine andere Auflage des Buchs. Auf Seite 231 wird in meinem Buch die schwache Topologie erklärt. Unterpunkt 10.1 Adjungierter Operator (auch dualer Operator) wird genau das eingeführt, was auch in Adjungierter_Operator#Verallgemeinerung_auf_Banachräume steht.

Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 18:55, 10. Dez. 2018 (CET)

Wie genau kann ich helfen? Ja, in der aktuellen Auflage wird $\langle x,x'\rangle :=x'(x)$ Dualitätsprodukt genannt. Geht es dir darum, das im Artikel zu ergänzen? Kann wohl nicht schaden. -- HilberTraum (d, m) 19:34, 10. Dez. 2018 (CET)

@HilberTraum: dein Name ist einfach am schnellsten gepingt, weil er, spezielle für Funktionalanalysis, sehr einprägsam ist ;) . Danke an Christian, aber ist Duale Paarung und Dualitätsprodukt effektiv synonym? Denn zweiteren ist in ersteren nicht enthalten (ausser ich habe es überlesen).--Sanandros (Diskussion) 23:36, 10. Dez. 2018 (CET)