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Nr. 4a

Beweis, dass $a\leq c\leq b\qquad \forall \quad a\in A,b\in B$:

Def: $c:=\sup {A}$

$\Rightarrow a\leq c$ - folgt aus Definition des Supremums, also korrekt.

Beweis durch Wiederspruch:

Annahme: $c\not =\inf {B}:=d$

$\Rightarrow c<d\quad oder\quad c>d$

1. Fall
$d<c$
$\inf {B}<\sup {A}$
Aus Definition von Supremum und Infimum:
$\Rightarrow \exists \quad \inf {B}\leq b_{n}<a_{n}\leq \inf {A}$
$\Rightarrow$ Wiederspruch, nach Definition von Dedekind'schem Schnitt: $a<b\quad \ \forall a,b$

2. Fall
$d>c$
$\inf {B}>\sup {A}$
$\Rightarrow \quad \exists e\in \mathbb {R} \quad mit\quad c<e<d$
$\Rightarrow \quad e\not \in A\quad und\quad e\not \in B$
$\Rightarrow Wiederspruch:A\cup B=\mathbb {R}$

$\Rightarrow \inf {B}=c\quad und\quad \sup {A}=c$
$\Rightarrow a_{n}\leq c\leq b_{n}$