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Mischungsrechnung

Mischungsrechnung ist ein mathematischer Begriff der elementaren Algebra, der im Übergangsfeld zwischen Bruchrechnung und Prozentrechnung angesiedelt ist. Die Mischungsrechnung beruht wesentlich auf einer allgemeinen mathematischen Formel, mit der für einen gegebenen Stoff dessen prozentualer Anteil an einem Stoffgemisch in Form eines gewichteten arithmetischen Mittels berechnet werden kann.

Allgemeine Formel

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n\geq 2$ und dazu $n$ Stoffe $S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}$ sowie ein Stoff $R$. Für $j=1,2,\ldots ,n$ liege jeder der Stoffe $S_{j}$ mit $m_{j}>0$ Mengeneinheiten vor, wobei $R$ in $S_{j}$ mit einem Prozentsatz $p_{j}\geq 0$ enthalten sein soll. Werden nun diese $n$ Stoffe gemischt, so ist in dem so entstandenen Stoffgemisch der Stoff $R$ mit einem Prozentsatz $p\geq 0$ enhalten.

Dafür gilt:

$p={\frac {m_{1}p_{1}+m_{2}p_{2}+\cdots +m_{n}p_{n}}{m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{n}}}=\sum _{k=1}^{n}{{\frac {m_{k}}{\sum _{j=1}^{n}{m_{j}}}}\cdot p_{k}}$  .

Quellen

• Fachredaktion des Bibliographischen Instituts (Hrsg.): Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis. Bearbeitet von Prof. Dr. Harald Scheid. 4. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1985, S. 421–422. 

Siehe auch

• Mischungskreuz

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Satz von Frobenius-König (unfertig)

Der Satz von Frobenius-König (englisch Frobenius-König theorem) ist ein mathematischer Lehrsatz, der im Übergangsfeld der beiden mathematischen Teilgebiete Algebraund Kombinatorik. Er geht auf wissenschaftliche Arbeiten der beiden Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius (1849–1917) und Dénes Kőnig (1884–1944) zurück und behandelt eine Fragestellung zu Permanenten von nichtnegativen Matrizen.

Formulierung des Satzes

Er lässt sich angeben wie folgt:

Die Permanente einer nichtnegativen m×n-Matrix (m kleiner-gleich n) ist gleich 0 dann und nur dann, wenn die Matrix eine s×t-Untermatrix enthält derart, dass s+t=n+1 gilt und dabei alle Elemente dieser Untermatrix gleich 0 sind.

Dieser Satz ist eng verbunden mit dem Satz von König-Egerváry:

In einer aus lauter Nullen und Einsen bestehenden Matrix ist die kleinste Anzahl von Reihen bzw. Spalten, die alle Einsen enthalten, gleich der größten Anzahl von Möglichkeiten, Einsen derart auszuwählen, dass keine zwei davon in derselben Zeile oder in derselben Spalte liegen.

Literatur

• Henryk Minc: Nonnegative Matrices (= Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization). John Wiley & Sons, Inc., New York 1988, ISBN 0-471-83966-3 (MR0932967). 

Satz von Landau (Gruppentheorie)

In der Gruppentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, behandelt der Satz von Landau, benannt nach Edmund Landau, die Frage der Existenz von endlichen Gruppen mit vorgegebener Anzahl von Konjugationsklassen.

Der Satz geht auf eine Publikation Landaus aus dem Jehre 1903 zurück und gab Anlass zu eine Anzahl von weitergehenden Untersuchungen.

Formulierung des Satzes

Er lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben sei eine beliebige positive natürliche Zahl $k\in \mathbb {N}$.

Dann gibt es eine allein von $k$ abhängige obere Schranke $B(k)\in \mathbb {N}$ derart, dass für jede endliche Gruppe $G$ mit exakt $k$ Konjugationsklassen hinsichtlich ihrer Ordnung $|G|$ stets die Ungleichung $|G|\leq B(k)$ erfüllt ist .

Literatur

• I. Martin Isaacs: Algebra. A Graduate Course. Brooks/Cole Publishing Company, Pacific Grove, CA 1994, ISBN 0-534-19002-2 (MR1276273). 
• Edmund Landau: Über die Klassenzahl der binären quadratischen Formen von negativer Discriminante. In: Mathematische Annalen. Band 6, 1903, S. 671–676, doi:10.1007/BF01444311 (MR1511192). 
• Mark Lanning Lewis: Landau's theorem, fields of values for characters, and solvable groups. In: Journal of the Australian Mathematical Society. Band 104, 2018, S. 37–43 (MR3745413). 
• Alexander Moretó, Hung Ngoc Nguyen: Variations of Landau's theorem for p-regular and p-singular conjugacy classes. In: Israel Journal of Mathematics. Band 212, 2016, S. 961–987 (MR3505408). 

Einzelnachweise

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Satz von Hopkins

Der Satz von Hopkins (englisch Hopkins' theorem), oft auch als Satz von Hopkins-Levitzki (englisch Hopkins–Levitzki theorem) bezeichnet, ist ein im mathematischen Teilgebiet der Ringtheorie gelegener mathematischer Lehrsatz, der auf wissenschaftliche Arbeiten der beiden Mathematiker Charles Hopkins (1902–1939) und Jakob Levitzki (1904–1956) aus dem Jahr 1939 zurückgeht. Der Satz behandelt den Zusammenhang zwischen artinschen und noetherschen Ringen.

Der Satz gab Anlass zu eine Anzahl von weitergehenden Untersuchungen.

Formulierung des Satzes

Er lässt sich angeben wie folgt:

Sei $R$ ein beliebiger Ring mit Eins.

Dann gilt:

Ist $R$ linksartinsch (rechtsartinsch), so ist $R$ stets auch linksnoethersch (rechtsnoethersch) .

Andere Darstellung

In seinem Lehrbuch Abstract Algebra (s. u.) gibt Pierre Antoine Grillet eine andere Darstellung, welche den Satz von Hopkins-Levitzki von dem Satz von Hopkins trennt. Grillet zufolge ist unter dem Satz von Hopkins zwar im Wesentlichen der oben ausgeführte Satz zu verstehen. Unter dem Satz von Hopkins-Levitzki indes fasst Grillet die folgende Aussage:

Sei $R$ ein linksartinscher Ring mit Eins und sei $M$ ein unitärer Linksmodul über $R$.

Dann sind die folgenden Eigenschaften gleichwertig:

(i) $M$ ist noethersch.

(ii) $M$ ist artinsch.

(iii) $M$ ist von endlicher Länge.

Den Satz von Hopkins fügt Grillet dann als Korollar unmittelbar an.

In seinem Lehrbuch Basic Algebra (s. u.) gibt P. M. Cohn einen dem letztgenannten weitgehend gleichwertigen Satz wieder, ohne diesen indes eigens nach Autoren zu benennen. Er lautet:

Sei $R$ ein linksartinscher Ring mit Eins und sei $M$ ein unitärer Linksmodul über $R$.

Dann sind die folgenden Bedingunen gleichwertig:

(a) $M$ ist artinsch.

(b) $M$ ist noethersch.

(c) $M$ hat eine Kompositionsreihe.

(d) $M$ ist endlich erzeugt.

Auch Cohn fügt den Satz von Hopkins dann als Korollar an.

Ein verwandter Satz von Artin

In seinem Lehrbuch Advanced Algebra (s. u.) trägt Anthony W. Knapp einen verwandten Satz vor, den er Emil Artin zurechnet und aus dem hervorgeht, dass unter speziellen Voraussetzungen noch schärfere Aussagen gegeben sind. Dieser Satz lautet:

Sei $R$ ein einfacher Ring mit Eins.

Dann sind die folgenden Eigenschaften gleichwertig:

(a) $R$ ist linksartinsch.

(b) $R$ ist ein halbeinfacher Ring.

(c) $R$ besitzt ein minimales Linksideal.

(d) $R$ ist isomorph einem Matrizenring $D^{n\times n}$ für einen Divisionsring $D$ und eine natürliche Zahl $n>0$.

Sei $R$ ein einfacher Ring mit Eins.

Insbesondere git:

Ein linksartinscher Ring mit Eins ist immer auch rechtsartinsch.

Anmerkungen und Erläuterungen

• Wenngleich sowohl Hopkins als auch Levitzki den Satz beide unabhängig voneinander und etwa zeitgleich im Jahr 1939 fanden, konnte Levitzkis Arbeit infolge des Kriegsgeschehens erst im Jahr 1945 zur Veröffentlichung kommen.
• Wie Kurt Meyberg hervorhebt, ist der Hopkins'sche Satz ein bemerkenswerter Satz ... , der die Klasse der linksartinschen Ringe ziemlich einschränkt.
• Der Satz besagt im Wesentlichen, dass unter den gegebenen Voraussetzungen für den Verband der Linksideale (Rechtsideale) das Erfülltsein der aufsteigenden Kettenbedingung eine notwendige Folge des Erfülltseins der absteigenden Kettenbedingung ist. Wie P. M. Cohn betont, ist dabei wesentlich, dass der zugrunde liegende Ring ein Einselement hat.
• Der Darstellung von T. Y. Lam zufolge waren sich offenbar weder Emmy Noether noch Emil Artin bei ihren in den 1920er Jahren vorgelegten Pionierarbeiten zu den Kettenbedingungen über die Aussage des Hopkins'schen Satz im Klaren.
• Es gibt eine Anzahl weiterer Darstellungen des Satzes bzw. der oben angesprochenen Satzvarianten, wobei es hinsichtlich der Unterschiede eine Rolle spielt, welches Gewicht dem modultheoretischen Gesichtspunkt beigemessen wird.
• Ein artinscher kommutativer Ring mit Eins ist notwendig immer noethersch.

Literatur

• Toma Albu: A seventy years jubilee: the Hopkins-Levitzki theorem. In: Ring and Module Theory. Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel 2010, S. 1–26 (MR2744040). 
• Frank W. Anderson, Kent R. Fuller: Rings and Categories of Modules (= Graduate Texts in Mathematics. Band 13). 2. Auflage. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, London, Paris, Tokyo, Hong Kong, Barcelona, Budapest 1992, ISBN 0-387-97845-3 (MR1245487). 
• P. M. Cohn: Basic Algebra. Groups, Rings and Fields. Springer-Verlag, London, Berlin, Heidelberg 2005, ISBN 1-85233-587-4 (MR1935285). 
• Pierre Antoine Grillet: Abstract Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Band 242). Springer-Verlag, New York 2007, ISBN 978-0-387-71567-4 (MR2330890). 
• Charles Hopkins: Rings with minimal condition for left ideals. In: Annals of Mathematics. Second Series. Band 40, 1939, S. 712–730 (MR0000012). 
• I. Martin Isaacs: Algebra. A Graduate Course. Brooks/Cole Publishing Company, Pacific Grove, CA 1994, ISBN 0-534-19002-2 (MR1276273). 
• Anthony W. Knapp: Advanced Algebra. Along with a companion volume Basic algebra (= Cornerstones). Birkhäuser Verlag, Boston, Basel, Berlin 2007, ISBN 978-0-8176-4522-9 (MR2360434). 
• T. Y. Lam: A first Course in Noncommutative Rings (= Graduate Texts in Mathematics. Band 131). 2. Auflage. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg 2001, ISBN 0-387-95183-0 (MR1838439). 
• Joachim Lambek: Lectures on Rings and Modules. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, New York 1976 (MR0419493). 
• Jakob Levitzki: On rings which satisfy the minimum condition for the right-hand ideals. In: Compositio Mathematica. Band 7, 1939, S. 214–222 ([1]). 
• Kurt Meyberg: Algebra. Teil 2 (= Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure). Carl Hanser Verlag, Wien 1976, ISBN 3-446-12172-2 (MR0460011). 
• Eberhard Oeljeklaus, Reinhold Remmert: Lineare Algebra I (= Heidelberger Taschenbücher. Band 150). Springer-Verlag, Wien 1974, ISBN 3-540-06715-9 (MR0366944). 
• Louis Halle Rowen: Ring Theory. Student Edition. Academic Press, Boston, MA 1991, ISBN 0-12-599840-6 (MR1095047). 
• Le Phuong-Thao, Nguyen Van Sanh: A generalization of Hopkins-Levitzki theorem. In: Southeast Asian Bulletin of Mathematics. Band 37, 2013, S. 591–600 (MR3134922). 

Einzelnachweise

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Van der Waerdensche Permanentenvermutung

Die Van der Waerdensche Permanentenvermutung (englisch van der Waerden permanent conjecture) ist eine berühmte mathematische Vermutung, die von dem Mathematiker Bartel Leendert van der Waerden im Jahre 1926 aufgestellt wurde. Sie behauptet eine elementare untere Abschätzung für Permanenten reeller doppelt-stochastischer Matrizen.

Bestätigung der Vermutung

Van der Waerdens Vermutung stand mehrere Jahrzehnte unbewiesen im Raum und konnte schließlich durch die beiden Mathematiker Georgi P. Jegortschow und Dmitry I. Falikman – die unabhängig voneinander arbeiteten – in den Jahren 1980–1981 bestätigt werden. Es gilt also der folgende Lehrsatz:

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n\geq 1$ sowie eine reelle doppelt-stochastische Matrix $A\in {\mathbb {R} }^{n\times n}$.

Dann besteht die Ungleichung

$\operatorname {perm} (A)\geq {\frac {n!}{n^{n}}}$.

Dabei gilt in dieser Ungleichung das Gleichheitszeichen dann und nur dann, wenn alle Elemente der Matrix $A$ gleich ${\frac {1}{n}}$ sind.

Hinweis zur Namensgebung

In der englischsprachigen Fachliteratur wird die oben gegebene Ungleichung mitunter auch als Van der Waerden-Egorychev-Falikman inequality bezeichnet.

Literatur

• Marshall Hall, Jr.: Combinatorial Theory (= Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics). 2. Auflage. John Wiley & Sons, Inc., New York 1986, ISBN 0-471-09138-3 (MR0840216). 
• Donald E. Knuth: A permanent inequality. In: American Mathematical Monthly. Band 88, 1981, S. 731–740, 798 (MR0668399). 
• Henryk Minc: Nonnegative Matrices (= Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization). John Wiley & Sons, Inc., New York 1988, ISBN 0-471-83966-3 (MR0932967). 
• Henryk Minc: The van der Waerden permanent conjecture. In: General inequalities 3 (Oberwolfach, 26.4.–2.5.1981; herausgegeben von E. F. Beckenbach und W. Walter) (= International Series of Numerical Mathematics. Band 64). Birkhäuser Verlag, Basel 1983, S. 23–40 (MR0785765). 
• Kenneth H. Rosen (Hrsg.): Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics (= Discrete Mathematics and its Applications). CRC Press, 2000, ISBN 0-8493-0149-1. 
• B. L. van der Waerden: Aufgabe 45. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . Band 35, 1926, S. 117. 

Anmerkungen

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Einzelnachweise

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KKKategorie:Kombinatorik]]

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Fixpunktsatz (Endliche Gruppen)

Zu den zahlreichen Resultaten in der Theorie der endlichen Gruppen, die im Zusammenhang mit den Sylow-Sätzen stehen, zählt ein als Fixpunktsatz bezeichneter Satz, der eine in diesem Kontext grundlegende Existenzaussage macht. Der Fixpunktsatz beruht auf einer allgemeinen Formel, welche nicht zuletzt die bekannte Klassengleichung in sich einschließt.

Formulierung

Dieser Fixpunktsatz lässt sich folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien eine endliche Menge $X$ und weiter eine Primzahl $p$, eine natürliche Zahl $r$ sowie eine endliche Gruppe $(G,\cdot )$ der Ordnung $|G|=p^{r}$.

Dabei soll $(G,\cdot )$ vermöge der äußeren Operation $G\times X\to X\;,\;(g,x)\mapsto g\cdot x\;,\;$ auf $X$ operieren.

Dann gelten folgende Aussagen:

(i) $|\operatorname {Fix} _{G}(X)|\equiv |X|{\pmod {p}}$

(ii) Insbesondere existiert, wenn $|X|$ und $p$ teilerfremd sind, mindestens ein Fixpunkt.

Allgemeine Formel

Die oben erwähnte allgemeine Formel lässt sich wie folgt angeben:

Gegeben seien eine Menge $X$ und eine Gruppe $(G,\cdot )$, die vermöge $G\times X\to X\;,\;(g,x)\mapsto g\cdot x\;,\;$ auf $X$ operieren soll.

Weiter gegeben sei ein Repräsentantensystem $V\subseteq X$ für die durch die Bahnen auf $X$ gegebenen Partition.

Dann gilt hinsichtlich der Mächtigkeiten die Formel

$|X|=|\operatorname {Fix} _{G}(X)|+\sum \limits _{x\in V\;{\text{mit}} \atop \;\ (G\colon G_{x})>1}{(G\colon G_{x})}$.

Folgerungen

Der obige Fixpunktsatz hat eine Reihe interessanter Anwendungen.

Über das Zentrum endlicher p-Gruppen

Hier führt der Fixpunktsatz unmittelbar zu folgendem Resultat:

Gegeben seien eine Primzahl $p$ und dazu eine endliche p-Gruppe $G$ mit zugehörigem Zentrum $\mathrm {Z} (G)$.

Dann gilt:

(i) Besteht ein Normalteiler $N\trianglelefteq G$ nicht aus dem neutralen Element allein, so besteht auch der Durchschnitt $\mathrm {Z} (G)\cap N$ nicht aus dem neutralen Element allein.

(ii) Insbesondere besitzt die endliche p-Gruppe $G$ im Falle, dass sie mehr als einem Element hat, ein nichttriviales Zentrum $\mathrm {Z} (G)$.

Zu Normalteilern endlicher p-Gruppen

Hier ergibt sich aus dem Fixpunktsatz die folgende Strukturaussage:<

Jede endliche p-Gruppe $G$ der Ordnung $|G|=p^{r}$ ($p$ prim, $r\in \mathbb {N} \;,\;r\geq 1$) hat einen Normalteiler $N\trianglelefteq G$ der Ordnung $|N|=p^{r-1}$ .

Literatur

• Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1 (= Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure). Carl Hanser Verlag, München, Wien 1975, ISBN 3-446-11965-5 (MR0460010). 
• Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. 4. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-54721-2, doi:10.1007/978-3-662-54722-9. 
• Gernot Stroth: Endliche Gruppen. Eine Einführung (= De Gruyter Studium). Walter de Gruyter, Berlin 2013, ISBN 978-3-11-029157-5. 

Anmerkungen

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Einzelnachweise

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Satz von Poincaré (Gruppentheorie)

BBegriffsklärungshinweis|Der vorliegende Satz ist nur einer von mehreren mit Poincarés Namen verknüpften Sätzen. Siehe Satz von Poincaré (BKL) !}}

Zu den zahlreichen Resultaten, die Henri Poincaré in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik beigetragen hat, gehört in der Gruppentheorie ein als Satz von Poincaré bezeichneter Lehrsatz, in dem Poincaré eine grundlegende Fragestellung zu Indizes von Untergruppen behandelt.

Formulierung

Der Satz lässt sich zusammengefasst formulieren wie folgt:

Gegeben seien eine Gruppe $G$ und darin endlich viele Untergruppen $U_{1},\ldots ,U_{n}\leq G\;(n\in \mathbb {N} )$.

Dann gelten folgende Aussagen:

(i) $(G\colon \bigcap _{i=1}^{n}{U_{i}})\leq \prod _{i=1}^{n}(G\colon U_{i})$

(ii) Haben die $U_{i}\;(i=1,\ldots ,n)$ in $G$ sämtlich endlichen Index, so hat ihr Durchschnitt $\bigcap _{i=1}^{n}{U_{i}}$ selbst endlichen Index.

Anmerkungen

• Die grundlegende Abschätzung bei (i) ergibt sich unmittelbar daraus, dass für zwei Untergruppen $U_{1},U_{2}\leq G$ und $x\in G$ jede $U_{1}\cap U_{2}$-Nebenklasse die Gleichung $\left(U_{1}\cap U_{2}\right)x={U_{1}}x\cap {U_{2}}x$ erfüllt. Damit gewinnt man für den Fall $n=2$ sogleich die genannte Abschätzung, die sich dann auf den allgemeinen Fall durch vollständige Induktion ausdehnen lässt.
• Unter gewissen Bedingungen gilt oben bei (i) sogar das Gleichheitszeichen. Liegen etwa zwei Untergruppen $U_{1},U_{2}\leq G$ vor, deren Indizes in $G$ beide endlich und dabei teilerfremd sind, so gilt sogar $(G\colon U_{1}\cap U_{2})=(G\colon U_{1})\cdot (G\colon U_{2})$.

Literatur

• A. G. Kurosch: Gruppentheorie I. In deutscher Sprache herausgegeben von Dr. Reinhard Strecker (= Mathematische Lehrbücher und Monographien, I. Abteilung, Mathematische Lehrbücher. Band III/I). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1970 (MR0266978). 
• Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1 (= Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure.). Carl Hanser Verlag, München, Wien 1975, ISBN 3-446-11965-5 (MR0460010). 
• Hans Schwerdtfeger: Introduction to Group Theory. Noordhoff International Publishing, Leyden 1976, ISBN 90-286-0495-2 (MR0435190). 

Einzelnachweise

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Identität von Ramanujan (Elementare Algebra)

In der Elementaren Algebra ist die Identität von Ramanujan eine einfache Formel, welche aus den binomischen Formeln und den Regeln für das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken hervorgeht. Sie wird dem indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan zugeschrieben, der diese Formel in seinen berühmten Notebooks festhielt. Die ramanujansche Identität lässt sich auch als Lehrsatz der Dreiecksgeometrie deuten.

Formulierung der Identität

Für zwei reelle Zahlen $a,b$ gilt stets die Gleichung

$(a+b-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}})^{2}=2\cdot ({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a)\cdot ({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-b)$   .

Geometrische Deutung

Gegeben sei in der euklidischen Ebene ein rechtwinkliges Dreieck $ABC$ mit der Hypotenuse $[AB]$ und mit $[BC]$ und $[CA]$ als Katheten.

Auf $[AB]$ seien beide Katheten mit dem Zirkel abgetragen, so dass $[AB]$ in drei Teilstrecken $[AR],[RS],[SB]$ zerlegt werde, wobei $R$ zwischen $A$ und $S$ liege und $S$ zwischen $R$ und $B$ .

Dann gilt die Gleichung:

${\overline {RS}}^{2}=2\cdot {\overline {AR}}\cdot {\overline {SB}}$   .

In Worten:

Das Quadrat der Länge der mittleren Teilstrecke ist gleich dem Zweifachen des Produkts der Längen der beiden äußeren Teilstrecken.

Quellen

• Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History (= Undergraduate Texts in Mathematics. Readings in Mathematics). Springer Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2012, ISBN 978-3-642-29162-3, S. 69, doi:10.1007/978-3-642-29163-0.  MR2918594

Einzelnachweise

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