Benutzer:RosarioVanTulpe/Neu13

injektiv - surjektiv - bijektiv - eine einfache Erklärung für Nichtmathematiker

Mengenbeziehungen bei Funktionen

Injektivität - Surjektivität - Bijektivität

Injektiv

Seien $X$ und $Y$ Mengen, sowie $f:X\to Y$ eine Abbildung von $X$ nach $Y$.
$f$ heißt injektiv, wenn für alle $y$ aus $Y$ höchstens ein $x$ aus $X$ (kein oder ein $x$, aber nicht mehr) existiert mit $f(x)=y$.

$f$ heißt injektiv, wenn ungleiche $x$-Werte stets auf ungleiche $y$-Werte abgebildet werden.
Formal :$\forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$

Surjektiv

Es seien $X$ und $Y$ Mengen, sowie $f:X\to Y$ eine Abbildung von $X$ nach $Y$.

$f$ heißt surjektiv, wenn für alle $y$ aus $Y$ mindestens ein $x$ aus $X$ mit $f(x)=y$ existiert.

Formal: $\forall y\in Y\ \exists x\in X:f(x)=y$

Bijektiv

Sei $f$ eine Funktion von $X$ nach $Y$, also $f\colon X\to Y$

$f$ ist bijektiv, wenn für alle $y\in Y$ genau ein $x\in X$ mit $f\left(x\right)=y$ existiert.

Formal: $\forall y\in Y\ \exists !x\in X:f(x)=y$

Mit anderen Worten kann man diese Bedingung so ausdrücken:

$f$ ist bijektiv, wenn $f$ injektiv und surjektiv ist.

Beispiele

Bild	einfache Erklärung	mathematische Erklärung
Bild 1	Die Menge X (blau, linke Seite) wird auf die Menge Y (rot, rechte Seite) abgebildet. In anderen Abbildungen wird oft von der Menge A und B bzw. von der Menge W (Wertebereich) und D (Definitionsbereich) gesprochen.	$X$ ist der Defintionsbereich einer Funktion $F$ und $Y$ eine Obermenge (Oberklasse) des Wertebereiches von $F$. Formal geschrieben: $F$: $X$$\to$$Y$ $\Leftrightarrow$ ${\textrm {Fun}}(F)$ $\land$ ${\textrm {dom}}(F)=X$ $\land$ ${\textrm {ran}}(F)$ $\!^{\subseteq }$ $Y$, wobei hier ${\textrm {Fun}}(F)$ $\Leftrightarrow$ ${\textrm {Rel}}(F)$ $\land$ $\!^{\forall }$$x,y_{1},y_{2}(xFy_{1}$ $\land$ $xFy_{2})$ $\Rightarrow$ $y_{1}=y_{2})$ und ${\textrm {Rel}}(F)$ $\Leftrightarrow$ $F$ $\!^{\subseteq }$ $(X$ $\cup$ $Y)$ $\times$ $(X$ $\cup$ $Y)$ und ${\textrm {dom}}(F)$ $:=$ $\{x|$ $\!^{\exists }$ $y(xFy)\}$ und ${\textrm {ran}}(F)$ $:=$ $\{y|$ $\!^{\exists }$ $x(xFy)\}$.
Bild 3
Bild 4: nicht injektiv	Injektiv heißt, dass jedes Element der Zielmenge Y höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird. Das ist hier nicht der Fall.
Bild 5
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Bild 16	Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum.	Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse molestie consequat, vel illum dolore eu feugiat nulla facilisis at vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat.