Benutzer:Nuerk/Verzweigungstheorie (Mathematik)

Verzweigungstheorie im Kontext von Dedekind-Ringen

Sei $A$ ein Dedekind-Ring mit Quotientenkörper $K$, $L/K$ eine endliche Erweiterung von $K$ und $B$ der ganze Abschluss von $A$ in $L$. Dann ist $B$ wieder ein Dedekind-Ring und als $A$-Modul endlich erzeugt.

Für jedes Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ von $A$ zerfällt ${\mathfrak {p}}B$ in $B$ in ein bis auf Umordnung eindeutiges Produkt von Primidealen ${\mathfrak {p}}B={\mathfrak {P}}_{1}^{e_{1}}...{\mathfrak {P}}_{r}^{e_{r}}$.

Dabei sind die ${\mathfrak {P}}_{i}$ genau diejenigen Primdeale ${\mathfrak {P}}$ von $B$, die über ${\mathfrak {p}}$ liegen, d.h. für die ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}\cap A$ gilt. Man nennt in diesem Fall ${\mathfrak {P}}$ einen Primteiler von ${\mathfrak {p}}$ und schreibt ${\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}}$.

Der Exponent $e_{i}$ heißt der Verzweigungsindex und der Körpergrad $f_{i}=[B/{\mathfrak {P}}_{i}:A/{\mathfrak {p}}]$ der Trägheitsgrad von ${\mathfrak {P_{i}}}$ über ${\mathfrak {p}}$.

Das Primideal ${\mathfrak {p}}$ heißt voll (oder total) zerlegt in $L$, falls $r=[L:K]$ in der Zerlegung

${\mathfrak {p}}B=\prod _{i=1}^{r}{\mathfrak {P}}_{i}^{e_{i}}$

ist.

Ist $r=1$, so heißt ${\mathfrak {p}}$ unzerlegt.

Das Primideal ${\mathfrak {P}}_{i}$ heißt unverzweigt über $A$ (oder über $K$), wenn $e_{i}=1$ und die Restkörpererweiterung $^{\textstyle (B/{\mathfrak {P}}_{i})}{\big /}_{\textstyle (A/{\mathfrak {p}})}$ separabel ist, sonst heißt es verzweigt. Gilt zusätzlich $f_{i}=1$, so nennt man es rein verzweigt.

Das Primideal ${\mathfrak {p}}$ heißt unverzweigt, falls alle ${\mathfrak {P}}_{i}$ unverzweigt sind, sonst verzweigt. Die Erweiterung $L/K$ selbst heißt unverzweigt, wenn alle Primideale ${\mathfrak {p}}\subset A$ in $L$ unverzweigt sind.

Separable Körpererweiterungen

Ist die Erweiterung $L/K$ zusätzlich separabel, so gilt die fundamentale Gleichung

$\sum _{i=1}^{r}e_{i}f_{i}=[L:K]$.

Sei die separable Erweiterung $L/K$ durch ein ganzes, primitives Element $\theta \in B$ gegeben, $L=K[\theta ]$, und $p(X)\in A[X]$ das Minimalpolynom von $\theta$. Sei ${\mathfrak {F}}:=\{\alpha \in B:\alpha B\in A[\theta ]\}$. Es ist dies das größte in $A[\theta ]$ gelegene Ideal von $B$, genannt der Führer von $A[\theta ]$. Es ist stets ${\mathfrak {F}}\neq 0$.

Für jedes Primideal ${\mathfrak {p}}$ von $A$, das zum Führer ${\mathfrak {F}}$ von $A[\theta ]$ teilerfremd ist, kann man die in $B$ über ${\mathfrak {p}}$ gelegenen Primideale explizit angeben.

Sei hierzu ${\bar {p}}(X)=\prod _{i=1}^{r}{\bar {p}}_{i}(X)^{e_{i}}$ die Zerlegung des Polynoms ${\bar {p}}(X)=p(X)\,{\bmod {\,}}{\mathfrak {p}}$ in irreduzible Faktoren ${\bar {p}}_{i}(X)=p_{i}(X)\,{\bmod {\,}}{\mathfrak {p}}$ über dem Restklassenkörper $A/{\mathfrak {p}}$, mit $p_{i}(X)\in A[X]$ normiert. Dann sind

${\mathfrak {P}}_{i}={\mathfrak {p}}B+p_{i}(\theta )B,\quad i=1,...,r$,

die verschiedenen über ${\mathfrak {p}}$ liegenden Primideale von $B$. Der Trägheitsgrad $f_{i}$ von ${\mathfrak {P}}_{i}$ ist der Grad von ${\bar {p}}_{i}(X)$, und es gilt

${\mathfrak {p}}B={\mathfrak {P}}_{1}^{e_{1}}...{\mathfrak {P}}_{r}^{e_{r}}$.

Man kann zeigen, dass es im Falle einer separablen Körpererweiterung $L/K$ nur endlich viele in $L$ verzweigte Primideale von $A$ gibt. Die verzweigten Ideale werden durch die Diskriminante ${\mathfrak {d}}$ von $B/A$ beschrieben. Diese ist das von den Diskriminanten $d(\omega _{1},...,\omega _{n})$ aller in $B$ gelegenen Basen $\omega _{1},...,\omega _{n}$ von $L/K$ erzeugte Ideal von $A$. Die Primteiler von ${\mathfrak {d}}$ sind genau die in $L$ verzweigten Primideale von $A$.

Hilbertsche Verzweigungstheorie

Sei im folgenden die Körpererweiterung $L/K$ galoissch und $G=G(L/K)$ die Galoisgruppe. Die Gruppe $G$ operiert auf $B$, da mit $a$ auch $\sigma a$ für jedes $\sigma \in G$ im Ring $B$ der ganzen Elemente von $L$ liegt.

Ist ${\mathfrak {P}}$ ein Primideal von $B$ über ${\mathfrak {p}}$, so ist für jedes $\sigma \in G$ auch $\sigma {\mathfrak {P}}$ ein Primideal über ${\mathfrak {p}}$, da

$\sigma {\mathfrak {P}}\cap A=\sigma ({\mathfrak {P}}\cap A)=\sigma {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}$.

Die $\sigma {\mathfrak {P}}$, $\sigma \in G$, heißen die zu ${\mathfrak {P}}$ konjugierten Primideale.

Die Galoisgruppe operiert transitiv auf der Menge der über ${\mathfrak {p}}$ gelegenen Primideale ${\mathfrak {P}}$ von $B$, all diese Primideale sind also zueinander konjugiert.

Ist ${\mathfrak {P}}$ ein Primideal von $B$, so heißt die Untergruppe

$G_{\mathfrak {P}}=\{\sigma \in G:\sigma {\mathfrak {P}}={\mathfrak {P}}\}$

die Zerlegungsgruppe von ${\mathfrak {P}}$ über $K$. Der Fixkörper

$Z_{\mathfrak {P}}=\{x\in L:\sigma x=x\quad \forall \sigma \in G\}$

heißt der Zerlegungskörper von ${\mathfrak {P}}$ über $K$.

Die Anzahl der verschiedenen Ideale über ${\mathfrak {p}}$ is gleich $\left|G/G_{\mathfrak {P}}\right|$. Denn ist ${\mathfrak {P}}$ so ein Primideal und durchläuft $\sigma$ ein Repräsentantensystem für die Nebenklassen in $G/G_{\mathfrak {P}}$, dann durchläuft $\sigma {\mathfrak {P}}$ die verschiedenen Primideale über ${\mathfrak {p}}$ genau einmal. Hieraus erhalten wir zudem folgende Äquivalenzen:

$G_{\mathfrak {P}}=1\iff Z_{\mathfrak {P}}=L\iff {\mathfrak {p}}$ ist voll zerlegt,

$G_{\mathfrak {P}}=G\iff Z_{\mathfrak {P}}=K\iff {\mathfrak {p}}$ ist unzerlegt.

Die Zerlegungsgruppe eines zu ${\mathfrak {P}}$ konjugierten Primideals $\sigma {\mathfrak {P}}$ ist die konjugierte Untergruppe

$G_{\sigma {\mathfrak {P}}}=\sigma G_{\mathfrak {P}}\sigma ^{-1}$.

Aus der Transitivität der Galois-Operation folgt weiterhin, dass die Trägheitsgrade $f_{1},...,f_{r}$ und die Verzweigungsindizes $e_{1},...,e_{r}$ in der Zerlegung

${\mathfrak {p}}B={\mathfrak {P}}_{1}^{e_{1}}...{\mathfrak {P}}_{r}^{e_{r}}$

untereinander jeweils gleich sind,

$f_{1}=...=f_{r}=f$, $\quad e_{1}=...=e_{r}=e$,

wodurch die fundamentale Gleichung die einfache Form

$ref=[L:K]$

annimmt.

Der Verzweigungsindex $e$ und der Trägheitsindex $f$ erlauben eine gruppentheoretische Interpretation. Für jedes $\sigma \in G_{\mathfrak {P}}$ ist $\sigma B=B$ und $\sigma {\mathfrak {P}}={\mathfrak {P}}$. Darum induziert $\sigma$ einen Automorphismus,

${\bar {\sigma }}\colon \,B/{\mathfrak {P}}\to B/{\mathfrak {P}},\;a\,{\bmod {\,}}{\mathfrak {P}}\mapsto \sigma a\,{\bmod {\,}}{\mathfrak {P}}$,

des Restklassenkörpers $B/{\mathfrak {P}}$. Setzt man $\kappa ({\mathfrak {P}})=B/{\mathfrak {P}}$ und $\kappa ({\mathfrak {p}})=A/{\mathfrak {p}}$, so ist die Erweiterung $\kappa ({\mathfrak {P}})/\kappa ({\mathfrak {p}})$ normal und man hat einen surjektiven Homomorphismus

$G_{\mathfrak {P}}\to G(\kappa ({\mathfrak {P}})/\kappa ({\mathfrak {p}}))$.

Der Kern $I_{\mathfrak {P}}\subseteq G_{\mathfrak {P}}$ dieses Homomorphismus heißt die Trägheitsgruppe von ${\mathfrak {P}}$ über $K$ und der zugehörige Fixkörper

$T_{\mathfrak {P}}=\{x\in L:\sigma x=x\quad \forall \sigma \in I_{\mathfrak {P}}\}$

heißt der Trägheitskörper von ${\mathfrak {P}}$ über $K$.

Es gelten dabei die Inklusionen

$K\subseteq Z_{\mathfrak {P}}\subseteq T_{\mathfrak {P}}\subseteq L$

und man hat die exakte Sequenz

$1\to I_{\mathfrak {P}}\to G_{\mathfrak {P}}\to G(\kappa ({\mathfrak {P}})/\kappa ({\mathfrak {P}}))\to 1$.

Die Erweiterung $T_{\mathfrak {P}}/Z_{\mathfrak {P}}$ ist normal, und es gilt

$G(T_{\mathfrak {P}}/Z_{\mathfrak {P}})\cong G(\kappa ({\mathfrak {P}})/\kappa ({\mathfrak {p}}))$, sowie

$G(L/T_{\mathfrak {P}})=I_{\mathfrak {P}}$.

In dem Fall, dass die Restkörpererweiterung $\kappa ({\mathfrak {P}})/\kappa ({\mathfrak {p}})$ separabel ist, gilt außerdem

$\#I_{\mathfrak {P}}=[L:T_{\mathfrak {P}}]=e$, und

$(G_{\mathfrak {P}}:I_{\mathfrak {P}})=[T_{\mathfrak {P}}:Z_{\mathfrak {P}}]=f$.

Verzweigungstheorie im Kontext henselscher Körper

Sei $K$ ein henselscher Körper bezüglich einer nicht-archimedischen Exponentialbewertung $v$. Ist $L/K$ eine Körpererweiterung, so setzt sich $v$ in eindeutiger Weise zu einer Exponentialbewertung $w$ von $L$ fort. Im Falle, dass $n=[L:K]<\infty$, ist diese Fortsetzung durch $w(\alpha )={\frac {1}{n}}v(N_{L/K}(\alpha ))$ gegeben, wobei $N_{L/K}$ die Körpernorm bezeichnet.

Sei $A$ bzw. $B$ der Bewertungsring, ${\mathfrak {p}}$ bzw. ${\mathfrak {P}}$ das maximale Ideal und $\kappa =A/{\mathfrak {p}}$ bzw. $\lambda =B/{\mathfrak {P}}$ der Restklassenkörper von $v$ bzw. $w$. Dann ist $B$ der ganze Abschluss von $A$ in $L$ und es gelten die Inklusionen

$v(K^{\times })\subseteq w(L^{\times })$ und $\kappa \subseteq \lambda$.

Der Index $e=e(w/v)=(w(L^{\times }):v(K^{\times }))$ heißt der Verzweigungsindex der Erweiterung $L/K$ und der Grad $f=f(w/v)=[\lambda :\kappa ]$ der Trägheitsgrad.

Es gilt stets $[L:K]\geq ef$. Ist $v$ diskret und $L/K$ separabel, so herrscht sogar Gleichheit, $[L:K]=ef$.

Eine endliche Erweiterung $L/K$ heißt unverzweigt, wenn die Restklassenkörpererweiterung $\lambda /\kappa$ separabel ist und

$[L:K]=[\lambda :\kappa ]$

gilt. Eine beliebige algebraische Erweiterung $L/K$ heißt unverzweigt, wenn sie als Vereinigung endlicher unverzweigter Teilerweiterungen dargestellt werden kann.

Es sind jede Teilerweiterung einer unverzweigten Erweiterung, sowie das Kompositum zweier unverzweigter Erweiterungen von $K$, selbst wieder unverzweigt.

Ist $L/K$ eine algebraische Erweiterung, so ist die maximale unverzweigte Teilerweiterung von $L/K$ definiert als das Kompositum $T$ aller unverzweigten Teilerweiterungen.

Der Restklassenkörper von $T$ ist der separable Abschluss $\lambda _{s}$ von $\kappa$ in der Restkörpererweiterung $\lambda /\kappa$ von $L/K$, und die Wertegruppe von $T$ ist gleich der von $K$.

Als maximale unverzweigte Erweiterung $K_{nr}/K$ schlechthin (nr = non ramifée) bezeichnet man das Kompositum aller unverzweigten Erweiterungen im algebraischen Abschluss ${\overline {K}}$ von $K$. Ihr Restklassenkörper ist die separabel abgeschlossene Hülle ${\overline {\kappa }}_{s}/\kappa$.

Sei im Folgenden die Restkörpercharakteristik $p=\operatorname {char} (\kappa )$ positiv.

Eine algebraische Erweiterung $L/K$ heißt zahm verzweigt, wenn die Restkörpererweiterung $\lambda /\kappa$ separabel ist und wenn $\operatorname {ggT} ([L:T],p)=1$. Letzteres soll im unendlichen Fall bedeuten, dass der Grad jeder endlichen Teilerweiterung von $L/T$ zu $p$ teilerfremd ist.

Falls die Erweiterung $L/K$ endlich ist, so ist sie genau dann zahm verzweigt, wenn $L/T$ eine Radikalerweiterung ist, also $a_{1},...,a_{r}\in L$ und $m_{1},...,m_{r}\in \mathbb {N}$ mit $\operatorname {ggT} (m_{i},p)=1$ existieren, sodass

$L=T({\sqrt[{m_{1}}]{a_{1}}},...,{\sqrt[{m_{r}}]{a_{r}}})$.

Es gilt dann stets die fundamentale Gleichung

$[L:K]=ef$.

Es ist jede Teilerweiterung einer zahm verzweigten Erweiterung selbst zahm verzweigt, und auch das Kompositum von zahm verzweigten Erweiterungen ist wiederum zahm verzweigt.

Ist $L/K$ eine algebraische Erweiterung, so heißt das Kompositum $V$ aller zahm verzweigten Teilerweiterungen die maximale zahm verzweigte Teilerweiterung von $L/K$.

Ist $L/K$ endlich, so nennt man die Erweiterung $L/K$ rein verzweigt, wenn $T=K$ ist, und wild verzweigt, wenn sie nicht zahm verzweigt ist, d.h. wenn $V\neq L$.

Verzweigungstheorie im Kontext allgemeiner bewerteter Körper

Sei $K$ ein Körper mit Bewertung $v$.

Ist $v$ eine nicht-archimedische Bewertung und $L/K$ eine endliche Körpererweiterung, so schreibt man kurz $w/v$, wenn $w$ eine Erweiterung von $v$ auf $L$ ist. Wie bereits im henselschen Fall definiert man den Verzweigungsindex einer Fortsetzung $w/v$ durch

$e_{w}=(w(L^{\times }):v(K^{\times }))$

und den Trägheitsgrad durch

$f_{w}=[\lambda _{w}:\kappa ]$,

wobei $\lambda _{w}$ bzw. $\kappa$ der Restklassenkörper von $w$ bzw. $v$ ist.

Ist $v$ diskret und $L/K$ separabel, so gilt die fundamentale Gleichung der Bewertungstheorie:

$\sum _{w/v}e_{w}f_{w}=[L:K]$.

Sei im folgenden $L/K$ eine galoissche Erweiterung mit Galoisgruppe $G=G(L/K)$. Sei $v$ eine Bewertung von $K$. Dann operiert $G$ auf der Menge der Fortsetzungen von $v$ auf $L$, da für jede solche Fortsetzung $w$ und jedes $\sigma \in G$ auch $w\circ \sigma$ wieder eine Fortsetzung von $v$ ist. Diese Gruppenwirkung ist transitiv, d.h. je zwei Fortsetzungen sind konjugiert.

Die Zerlegungsgruppe einer Fortsetzung $w$ von $v$ auf $L$ ist definiert durch

$G_{w}=G_{w}(L/K)=\{\sigma \in G(L/K):w\circ \sigma =w\}$.

Ist $v$ eine nicht-archimedische Bewertung, so enthält die Zerlegungsgruppe $G_{w}$ zwei weitere kanonische Untergruppen, $G_{w}\supseteq I_{w}\supseteq R_{w}$, die wie folgt definiert sind. Sei $B_{w}$ der Bewertungsring von $w$ mit maximalem Ideal ${\mathfrak {P}}_{w}$, dann ist die Trägheitsgruppe von $w/v$ definiert als

$I_{w}=I_{w}(L/K)=\{\sigma \in G_{w}:\sigma x\equiv x\,{\bmod {\,}}{\mathfrak {P}}_{w}\quad \forall x\in B_{w}\}$

und die Verzweigungsgruppe durch

$R_{w}=R_{w}(L/K)=\{\sigma \in G_{w}:{\frac {\sigma x}{x}}\equiv 1\,{\bmod {\,}}{\mathfrak {P}}_{w}\quad \forall x\in L^{\times }\}$.

Der Fixkörper von $G_{w}$,

$Z_{w}=Z_{w}(L/K)=\{x\in L:\sigma x=x\quad \forall \sigma \in G_{w}\}$,

heißt der Zerlegungskörper von $w$ über $K$, der Fixkörper von $I_{w}$,

$T_{w}=T_{w}(L/K)=\{x\in L:\sigma x=x\quad \forall \sigma \in I_{w}\}$,

heißt der Trägheitskörper von $w$ über $K$ und der Fixkörper von $R_{w}$,

$V_{w}=V_{w}(L/K)=\{x\in L:\sigma x=x\quad \forall \sigma \in R_{w}\}$,

heißt der Verzweigungskörper von $w$ über $K$.

Dabei ist $T_{w}/Z_{w}$ die maximale unverzweigte Teilerweiterung von $L/Z_{w}$, und $V_{w}/Z_{w}$ die maximale zahm verzweigte Teilerweiterung von $L/Z_{w}$.

Höhere Verzweigungsgruppen

Sei $L/K$ eine endliche galoissche Erweiterung mit Galoisgruppe $G$. Sei $v$ eine diskrete normierte Bewertung von $K$ mit positiver Restkörpercharakteristik $p$, die auf $L$ eine eindeutige Fortsetzung $w$ habe. Es bezeichne $v_{L}$ die zugehörige normierte Bewertung von $L$ und $B$ den Bewertungsring.

Dann ist für jede reelle Zahl $s\geq -1$ die $s$-te Verzweigungsgruppe von $L/K$ definiert durch

$G_{s}=G_{s}(L/K)=\{\sigma \in G:v_{L}(\sigma a-a)\geq s+1\quad \forall a\in B\}$.

Mit dieser Bezeichnung ist $G_{-1}=G$, $G_{0}$ die Trägheitsgruppe $I=I(L/K)$ und $G_{1}$ die Verzweigungsgruppe $R=R(L/K)$.

Die Verzweigungsgruppen bilden eine Kette

$G=G_{-1}\supseteq G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq ...$

von Normalteilern von $G$.

Für die Faktorgruppen $G_{s}/G_{s+1}$ gilt folgender Satz. Sei $\pi _{L}\in B$ ein Primelement von $L$. Dann ist für jede ganze Zahl $s\geq 0$ die Abbildung

$G_{s}/G_{s+1}\to U_{L}^{(s)}/U_{L}^{(s+1)},\;\sigma \mapsto {\frac {\sigma \pi _{L}}{\pi _{L}}}$

ein injektiver Homomorphismus, der nicht von der Wahl des Primelementes $\pi _{L}$ abhängt. Dabei bezeichnet $U_{L}^{(s)}$ die $s$-te Einseinheitengruppe von $L$, also $U_{L}^{(0)}=B^{\times }$ und $U_{L}^{(s)}=1+\pi _{L}^{s}B$ für $s\geq 1$.

Literatur

• Cassels, J.W.S., Fröhlich, A.: Algebraic Number Theory. Thompson, Washington, D.C. 1967
• Goldstein, Larry Joel: Analytic Number Theory. Prentice-Hall Inc., New Jersey 1971
• Lang, Serge: Algebraic Number Theory. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1986, ISBN 3-540-96375-8
• Neukirch, Jürgen: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1992, Nachdruck 2007, ISBN 3-540-37547-3
• Ribenboim, Paulo: The Theory of Classical Valuations. Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg 1999, ISBN 0-387-98525-5