Benutzer:KleinKlio/Baustelle

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Literatur

Algebra

• Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. print. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9

Analysis und Funktionalanalysis

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2
• Harro Heuser: Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. 3. Auflage. Teubner-Verlag, 1992, ISBN 3-519-22206-X

Funktionalanalysis

• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis : eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-34186-2
• Haïm Brezis: Analyse fonctionnelle : théorie et applications. In:Mathématiques appliquées pour la maîtrise. Dunod, 2005, ISBN 2-10-049336-1
• Nelson Dunford, Jacob Theodore Schwartz u. a.: Linear Operators, General Theory, and other 3 volumes, includes visualization charts. In: Pure and applied mathematics; 7. Wiley-Interscience, 1988, ISBN 0-470-22605-6
• Harro Heuser: Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. 3. Auflage. Teubner-Verlag, 1992, ISBN 3-519-22206-X
• Vivien Hutson, John S. Pym, Michael J. Cloud: Applications of Functional Analysis and Operator Theory. 2nd edition. Elsevier Science, 2005, ISBN 0-444-51790-1
• Leonid P. Lebedev, Iosif I. Vorovič: Functional Anlysis in Mechanics. Springer-Verlag, 2003, ISBN 0-387-95519-4
• Martin Schechter: Principles of Functional Analysis. 2nd edition. Academic Press, 2001, ISBN 0-8218-2895-9
• Sergej Lʹvovič Sobolev: Some applications of functional analysis in mathematical physics, Providence (RI), American Mathematical Soc., 1991, ISBN 0-8218-4549-7
• Kôsaku Yoshida: Functional Analysis. 6th edition. Springer-Verlag , 1980, ISBN 3-540-10210-8

Lineare Algebra

• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8

Physik

• Christian Gerthsen, Hans O. Kneser, Helmut Vogel: Physik: ein Lehrbuch zum Gebrauch neben Vorlesungen. 16. Auflage. Springer-Verlag, 1992, ISBN 3-540-51196-2

Topologie

• Klaus Jänich: Topologie. 8. Auflage. Springer-Verlag, 2005, ISBN 3-540-21393-7
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1979, ISBN 3-540-09799-6
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer-Verlag, 2001, ISBN 3-540-09799-6
• Thorsten Camps, Stefan Kühling und Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. Heldermann, 2006, ISBN 3-88538-115-X

Zahlentheorie

• Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-58821-3
• Armin Leutbecher: Zahlentheorie: Eine Einführung in die Algebra. Springer-Verlag, 1996. ISBN 3-540-58791-8.

Zwischenablage

• Zwei verschiedene Geraden heißen komplanar, wenn sie parallel sind oder sich schneiden. Daraus folgt per Definition, dass komplanare Geraden, die keinen Punkt gemeinsam haben, parallel sind.
• Seien $g,h$ komplanare Geraden. Ein Punkt $A\in {\mathfrak {P}}$ heißt komplanar zu $\lbrace g,h\rbrace$, wenn es eine Gerade $a$ gibt, die $A$ enthält und beide vorgegeben Geraden in verschiedenen Punkten schneidet. Die Punktmenge $\varepsilon (g,h)$ aller zu $\lbrace g,h\rbrace$ komplanaren Punkte heißt die von den Geraden $g,h$ erzeugte Ebene. Man schreibt dann auch $\varepsilon (g,h)=g\lor h$. (Formal:$\varepsilon (g,h)=\lbrace A\in {\mathfrak {P}}:\exists k\in {\mathfrak {G}},B,C\in {\mathfrak {P}}\rbrace$

Schließungssatz

Ein Schließungssatz ist in der Geometrie ursprünglich die informell gebrauchte Bezeichnung für bestimmte Inzidenzaussagen meist der ebenen Geometrie, die folgende Form haben: Aus bestimmten Inzidenzbedingungen für Ausgangspunkte (sie liegen auf gewissen Geraden oder auch auf einem Kegelschnitt) folgen gewisse Inzidenzen von durch die Ausgangspunkte bestimmten Punkten und Geraden. Günter Pickert hat den Begriff 1955 für projektive Ebenen formal definiert, wobei er die Kegelschnitte ausgeschlossen hat. Für Schließungssätze in diesem formalen Sinn gilt in topologischen projektiven Räumen ein Übertragungsprinzip: Gelten sie in einer dichten Teilebene, dann gelten sie in der gesamten Ebene.

Formale Definition nach Pickert

Es sei $\mathbb {P} =({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},I)$ eine projektive Ebene. Ein Schließungssatz ist dann eine Aussage der folgenden Form:

Schließungssätze und Koordinatenbereiche

In der nachfolgenden Tabelle werden die Folgerungen zusammengefasst, die sich aus klassischen Schließungssätzen für die algebraische Struktur eines Koordinatenbereiches ergeben, der einer Ebene zugeordnet werden kann. Außerdem zeigt die Tabelle, welche Schließungssätze eine Ebene erfüllt, deren Koordinatenbereich die Axiome für einen bestimmten „verallgemeinerten Körper“ erfüllt.

Affine Ebene			Projektive Ebene
Bezeichnung	Geometrische Charakterisierung	Koordinatenbereich	Bezeichnung	Projektiver Schließungssatz
Affine Inzidenzebene	(Axiome der affinen Ebene)	$(K,T)$ ist ein Ternärkörper.	projektive Inzidenzebene	(Axiome der projektiven Ebene)
Translationsebene	Kleiner affiner Satz von Desargues gilt.	$(K,+,\cdot )$ ist ein Quasikörper.	Moufangebene	Kleiner Satz von Desargues
Desarguesche Ebene	Großer affiner Satz von Desargues gilt.	$(K,+,\cdot )$ ist ein Schiefkörper.	Desarguessche Ebene	Großer Satz von Desargues
Pappussche Ebene	Großer affiner Satz von Pappos gilt.	$(K,+,\cdot )$ ist ein Körper.	Pappussche Ebene	Großer Satz von Pappos

In der Tabelle impliziert jede Zeile die darüberliegende, wobei die Axiome der affinen bzw. projektiven Ebene von jeder spezielleren Ebene gefordert werden und die Verknüpfung im Ternärkörper eine andere ist als in den spezielleren Körpern. Affine Ebenen, deren Koordinatenbereich ein Schiefkörper ist, in denen also der große affine Satz von Desargues gilt, werden affine desarguessche Ebenen, alle anderen affine nichtdesarguessche Ebenen genannt. Die letzten beiden Spalten führen die entsprechenden projektiven Ebenen auf. Durch Schlitzen einer projektiven Ebene, die den in der Zeile genannten (projektiven) Schließungssatz erfüllt, entsteht stets eine affine Ebene von dem Typ, der in der gleichen Zeile beschrieben ist (→ siehe dazu Projektives Koordinatensystem). Daher können die Koordinatenbereiche der affinen Ebenen auch auf die entsprechenden projektiven Ebenen angewandt werden. Zwei affine Ebenen, die man durch Ausschneiden von unterschiedlichen Geraden aus einer bestimmten projektiven Ebene erhalten hat, müssen nicht isomorph sein, ebenso wenig die durch das Schlitzen bestimmten Koordinatenternärkörper. Das bedeutet zugleich, dass die projektiven Abschlüsse von zwei nicht isomorphen affinen Ebenen isomorph sein können.

Aus einer Translationsebene entsteht durch projektive Erweiterung stets eine projektive Translationsebene, aber nicht immer eine Moufangebene. Aus einer Translationsebene, die durch Schlitzen aus einer Moufangebene hervorgegangen ist, entsteht dann durch projektive Erweiterung wieder die ursprüngliche Moufangebene. Dieser spezielle Fall tritt genau dann auf, wenn jeder Koordinatenbereich der affinen und der projektiven Ebene sogar ein – und zwar bis auf Isomorphie stets der gleiche – Alternativkörper ist. In allen anderen Zeilen entsteht ganz allgemein aus einer beliebigen affinen Ebene des in der Zeile genannten Typs durch projektive Erweiterung eine projektive Ebene des in der gleichen Zeile genannten Typs.

Alle Koordinatenternärkörper, die einer projektiven Ebene als Koordinatenbereich zugeordnet werden können sind zueinander isotope Ternärkörper. → Detailliertere Informationen über den Zusammenhang zwischen den geometrischen Eigenschaften von projektiven Ebenen und der algebraischen Struktur ihrer Koordinatenternärkörper finden sich im Artikel „Klassifikation projektiver Ebenen“.

Literatur

• Daniel Hughes, Fred Piper: Projective planes (= Graduate texts in mathematics. Band 6). Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1973, ISBN 3-540-90044-6, VI. 
• Günter Pickert: Projektive Ebenen. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York/Tokyo 1975 (Erstauflage 1955), ISBN 3-540-07280-2, 1.4 und Anhang 3. 
• Sybilla Prieß-Campe: Angeordnete Strukturen. Gruppen, Körper, projektive Ebenen. In: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 98. Springer, Berlin/Heidelberg/New York/Tokyo 1983, ISBN 3-540-11646-X, V Angeordnete projektive Ebenen. 

Inzidenzstruktur

Der Begriff Inzidenzstruktur bezeichnet in der Mathematik, insbesondere in der Geometrie eine Struktur aus einer Punktmenge und einer Menge von Blöcken. Zwischen diesen disjunkten Mengen ist eine Inzidenzrelation definiert. Durch diese schwachen Forderungen erweisen sich zahlreiche speziellere Strukturen als Spezialfälle von Inzidenzstrukturen. Einige dieser Zusammenhänge werden im vorliegenden Artikel erläutert. Für wichtige Klassen von Inzidenzstrukturen gilt ein Dualitätsprinzip. Endlichen Inzidenzstrukturen kann man eine endliche Menge von Parametern zuordnen, die z. B. angeben, mit wie vielen Blöcken zwei verschiedene Punkte im Durchschnitt inzidieren; eine endliche Inzidenzstruktur, bei der ein solcher Parameter nicht nur den Durchschnittswert, sondern in jedem Fall die tatsächliche Anzahl der Inzidenzen angibt, erfüllt eine Regularitätsbedingung. Inzidenzstrukturen, die nichttriviale Regularitätsbedingen erfüllen, können durch diese typisiert werden.

Definitionen

Eine Inzidenzstruktur ist ein Tripel ${\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)$ von Mengen mit

${\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {B}}=\emptyset$ und $I\subseteq {\mathfrak {p}}\times {\mathfrak {B}}.$

Die Elemente von ${\mathfrak {p}}$ heißen Punkte, die von ${\mathfrak {B}}$ Blöcke. Die Elemente von $I$ werden Inzidenzen oder Fahnen genannt.

Isomorphismen von Inzidenzstrukturen

Seien ${\mathcal {I}}_{1}=({\mathfrak {p_{1}}},{\mathfrak {B_{1}}},I_{1})$ und ${\mathcal {I}}_{2}=({\mathfrak {p_{2}}},{\mathfrak {B_{2}}},I_{2})$ Inzidenzstrukturen. Eine bijektive Abbildung $f:{\mathfrak {p_{1}}}\cup {\mathfrak {B_{1}}}\rightarrow {\mathfrak {p_{2}}}\cup {\mathfrak {B_{2}}}$ heißt Isomorphismus von ${\mathcal {I}}_{1}$ auf ${\mathcal {I}}_{2}$, wenn Folgendes gilt:

1. f bildet Punkte auf Punkte und Blöcke auf Blöcke ab und
2. für alle Punkte p und Blöcke B von ${\mathcal {I}}_{1}$ gilt $p\mathop {I_{1}} B\Leftrightarrow f(p)\mathop {I_{2}} f(b).$

Einfache Inzidenzstruktur

Die Inzidenzstruktur ${\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)$ heißt einfach, wenn für beliebige Blöcke $B,C\in {\mathfrak {B}}$ gilt:

$\left(\forall p\in {\mathfrak {p}}:\;p\mathop {I} B\Leftrightarrow p\mathop {I} C\right)\Rightarrow B=C,$

wenn also alle Blöcke durch die mit ihnen inzidierenden Punkte vollständig bestimmt sind. Gleichwertig dazu ist: ${\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)$ ist einfach genau dann, wenn ${\mathcal {I}}$ isomorph zu einer Inzidenzstruktur ${\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}}',\in )$ ist, wobei ${\mathfrak {B}}'$ eine Teilmenge der Potenzmenge ${\mathcal {P}}({\mathfrak {p}})$ von ${\mathfrak {p}}$ ist.

Dualität

• Zu einer Inzidenzstruktur ${\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)$ wird die duale Inzidenzstruktur ${\mathcal {I}}^{D}=({\mathfrak {p}}^{D},{\mathfrak {B}}^{D},I^{D})$ so gebildet:

.${\mathfrak {p}}^{D}={\mathfrak {B}},{\mathfrak {B}}^{D}={\mathfrak {p}},I^{D}=I^{-1}=\{(B,p)\;|\;(p,B)\in I\}.$ Die duale Inzidenzstruktur ${\mathcal {I}}^{D}$ entsteht also aus ${\mathcal {I}}$, indem man die Blöcke die Rolle der Punkte spielen lässt und umgekehrt. Natürlich gilt $\left({\mathcal {I}}^{D}\right)^{D}={\mathcal {I}}.$

• Vertauscht man in einer Aussage A über Inzidenzstrukturen die Wörter „Punkt“ und „Block“, so erhält man die zu A duale Aussage.

• Für eine Klasse $K$ von Inzidenzstrukturen wird mit $K^{D}$ die Klasse der dualen Inzidenzstrukturen bezeichnet.

Notation und grundlegende Begriffe

• Eine Inzidenzstruktur heißt endlich, wenn ihre Punktmenge und ihre Geradenmenge endlich sind.
• Eine Inzidenzstruktur heißt ausgeartet, wenn sie einen Block enhält, für den es keine zwei Punkte gibt, die nicht mit diesem Block inzidieren, sonst heißt die Struktur nichtausgeartet. Eine Inzidenzstruktur ist also genau dann nichtausgeartet, wenn für jeden Block $B\in {\mathfrak {B}}$ mindestens zwei verschiedene Punkte $p_{1},p_{2}\in {\mathfrak {p}}$ existieren, die nicht mit B inzidieren.

Eigenschaften

Dualitätsprinzip

• Ist A eine Aussage, die für alle Inzidenzstrukturen einer Klasse K gilt, so gilt die duale Aussage $A^{D}$ für alle Aussagen aus $K^{D}.$
• Ist für eine Klasse k von Inzidenzstrukturen $K=K^{D}$, so sagt man „für K gilt das Dualitätsprinzip“. Dann ist für jede Aussage A, die für alle Inzidenzstrukturen aus K zutrifft, auch $A^{D}$ für alle diese Inzidenzstrukturen richtig.

Beispiele

Das Dualitätsprinzip gilt für die Klasse

• der endlichen Inzidenzstrukturen,
• der Inzidenzstrukturen, in denen jeder Punkt mit einer konstanten Anzahl von Blöcken und jeder Block mit einer konstanten Anzahl von Punkten inzidiert,
• der projektiven Ebenen,
• der projektiven Ebenen der Lenz-Klasse VII.

Gegenbeispiele

Das Dualitätsprinzip gilt nicht für die Klasse

• der Inzidenzstrukturen mit endlicher Punktmenge,
• der einfachen Inzidenzstrukturen,
• der Inzidenzstrukturen, in denen jeder Punkt mit m Blöcken und jeder Block mit n Punkten inzidiert.
• der affinen Ebenen,
• der projektiven Ebenen der Lenz-Klasse IVa.

Beispiele

• Die Inzidenzstruktur $(\{1,2,3\},\{\emptyset ,\{1,2\},\{1,2,3\}\},\in )$ ist nach Konstruktion einfach, ihre duale Inzidenzstruktur ist es nicht, denn die Punkte 1 und 2 inzidieren mit den selben Blöcken.

Literatur

• Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. I. Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9, Kapitel 1. Grundlagen. 

Konstruktionstext

Als Konstruktionstext oder Konstruktionsbeschreibung bezeichnet man in der Elementargeometrie und der synthetischen Geometrie die Beschreibung einer geometrischen Konstruktion. Dabei wird jeder einzelne Schritt der Konstruktion in der Form einer Aufforderung zu zeichnen gegeben. Komplexere Teilkonstruktionen können auch in einer Anweisung zu konstruieren zusammengefasst werden. Jeder Schritt eines Konstruktionstextes definiert durch die gegebene Anweisung ein neues geometrisches Objekt in Abhängigkeit von den gegebenen oder in den Schritten davor durch Zeichnung definierten Objekten. Man kann einen Konstruktionstext als Ablaufplan (Algorithmus) für die Durchführung einer geometrischen Konstruktion ansehen.

Schulmathematik

Elementare Konstruktionsschritte

1. Zeichne eine Strecke $AB$ mit der Länge 4 cm.
2. Zeichne einen Kreis $k_{1}$ um $A$ mit dem Radius 5 cm.
3. Zeichne einen Kreis $k_{2}$ um $B$ mit dem Radius 3 cm.
4. Die Kreise $k_{1}$ und $k_{2}$ schneiden sich in zwei Punkten $C_{1}$ und $C_{2}$

Dieser Konstruktionstext beschreibt die Konstruktion eines Dreiecks aus drei gegebenen Seitenlängen (SSS). Das Ergebnis der Konstruktion sind zwei Dreiecke $ABC_{1}$ und $ABC_{2}$, die die gewünschten Seitenlängen haben.

Poincaré

Das Kreisscheibenmodell von Poincaré ist ein Modell einer hyperbolischen Ebene, das sich in der gewöhnlichen, euklidischen Ebene darstellen lässt. Die Punkte sind die gewöhnlichen Punkte einer bestimmten Kreisscheibe und die Geraden sind gewisse Kreisbögen in der Kreisscheibe. Das Modell geht auf den französischen Mathematiker Henri Poincaré zurück, nach dem es auch benannt ist. Mit Hilfe dieses Modells, das im folgenden abgekürzt HP genannt wird, konnte der italienische Mathematiker Eugenio Beltrami zeigen, dass die ebene hyperbolische Geometrie konsistent ist, falls dies für die ebene euklidische Geometrie gilt und umgekehrt (Äquikonsistenz dieser beiden axiomatischen Systeme).

Definitionen

• Die Punktmenge des Modells HP besteht aus allen Punkten innerhalb der Einheitskreisscheibe $\mathbb {S} ^{2}$ in der gewöhnlichen euklidischen Ebene.
• Die Geraden des Modells (HP-Geraden) sind genau die innerhalb der Kreisscheibe $\mathbb {S} ^{2}$ liegenden Teilkreisbögen der Kreise, die die Einheitskreislinie senkrecht schneiden und die Durchmesser (als Strecken) dieses Einheitskreises.
• Der Winkel zwischen zwei schneidenden HP-Geraden ist der euklidische Winkel zwischen den beiden Trägerkurven (also im Fall z. B. von zwei Trägerkreisen der Winkel zwischen deren Tangenten im Schnittpunkt.

Eigenschaften

Für einige einfache Sätze der hyperbolischen Geometrie soll hier der Beweis im Modell angedeutet werden:

• Zwei Geraden haben höchstens einen gemeinsamen Punkt: Bei den typischen Trägern der HP-Geraden, den Kreisen senkrecht durch $\mathbb {S} ^{2}$, muss der Kreismittelpunkt außerhalb von $\mathbb {S} ^{2}$ liegen, daher liegen

Grundkonstruktionen

1. Zeichne die Verbindungsgerade der HP-Punkte A und B: Liegen A und B auf einem Durchmesser von $\mathbb {S} ^{2}$, dann ist die gesuchte Gerade dieser Durchmesser, insbesondere, falls einer der beiden Punkte der Mittelpunkt von $\mathbb {S} ^{2}$ ist. Sonst können die Punkte A und B an der Kreislinie $\mathbb {S} ^{2}$ gespiegelt werden, dies ergibt zwei weitere Punkte des gesuchten Kreises, der die HP-Gerade enthält. Der gesuchte Kreis ist nun der Umkreis dieses Vierecks.
2. Trage an die Gerade AB in A den Winkel $\alpha$ an: Man konstruiert an AB, falls dies ein Durchmesser ist, oder an die Tangenta an AB in A den gewöhnlichen euklidischen Winkel $\alpha$,

Absolute Geometrie

Als absolute Geometrie wird die Gesamtheit der geometrischen Sätze über einen dreidimensionalen Raum betzeichnet, die man allein aufgrund der Axiome der Verknüpfung, Anordnung, geeigneten Axiomen der Kongruenz und der Stetigkeit (in Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie die Axiomgruppen I–III und V) – also ohne das Parallelenaxiom – herleiten kann.

Es handelt sich also genau um die Menge der Sätze, die sowohl in der euklidischen als auch in der nichteuklidischen Geometrie Gültigkeit haben, oder anders ausgedrückt um den „gemeinsamen Unterbau“ beider Geometrien.

Beispielsweise gehören einige Kongruenzsätze zur absoluten Geometrie, der Satz über die Winkelsumme im Dreieck und der Satz des Pythagoras jedoch nicht. In Euklids Elementen werden die ersten 28 Sätze ohne das Parallelenaxiom bewiesen und zählen somit zur absoluten Geometrie.

Der Begriff absolute Geometrie geht auf einen der Begründer der nichteuklidischen Geometrie, den ungarischen Mathematiker János Bolyai zurück.

Axiome der Bewegung

Wegen der in der Einleitung genannten Einschränkungen, die Hilberts Kongruenzaxiome (Gruppe III) der absoluten Geometrie auferlegen würden - eine elliptische Geometrie wäre damit ausgeschlossen - ersetzt man diese Kongruenzaxiome heute durch Axiome der Bewegung: Es existiert eine Menge ${\mathcal {B}}$ von Abbildungen aus der Menge der Punkte des Raumes in diese Punktmenge mit folgenden Eigenschaften:

B₀: Jedes $\tau \in {\mathcal {B}}$ ist eine bijektive Abbildung aus ${\mathcal {B}}$ in ${\mathcal {B}}$.

Literatur

• David Hilbert: Grundlagen der Geometrie, Stuttgart - Leipzig: Teubner (14. Auflage 1999)
• Baldus, R. - Löbell, F.: Nichteuklidische Geometrie, Berlin: Sammlung Göschen/de Gruyter (4. Auflage 1964)

Loop

Geordnete Loop

Eine geordnete Loop (engl. ordered loop) $(L,+,0,<)$ ist eine Loop $(L,+,0)$ wenn $(L,<)$ eine strikt total geordnete Menge und das folgende Monotoniegesetz erfüllt ist:

Aus $a<b$ folgt $a+c<b+c$ und $c+a<b+a$.

• Mit $(L,+,0,<)$ ist auch $(L,+,0,>)$ eine geordnete Loop.
• Eine geordnete Loop ist torsionsfrei, enthält also keine Elemente endlicher Ordnung.

Doppelloop

Eine Struktur $(R,+,0,\cdot ,1)$ heißt Doppelloop (engl. double loop) falls R mindestens zwei Elemente enthält, $(R,+,0)$ eine Loop mit neutralem Element 0 und $(R\setminus \{0\},\cdot ,1)$ eine Loop mit neutralem Element 1 ist und darüberhinaus $0\cdot x=x\cdot 0=0$ für alle $x\in R$ gilt.

Wichtige spezielle Doppelloops sind die Ternärkörper. Eine Doppelloop $(R,+,0,\cdot ,1)$ ist genau dann ein linearer Ternärkörper mit der durch $T(a,b,c)=a\cdot b+c$ definierten Ternärverknüpfung, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Für $b,c,b',c'\in R$ mit $b\neq b'$ existiert stets ein eindeutiges Element $x\in R$, so dass $x\cdot b+c=x\cdot b'+c'$ gilt.
2. Für $a,d,a',d'\in R$ mit $a\neq a'$ existiert stets ein eindeutiges Paar$(x,y)\in R^{2}$, so dass $a\cdot x+y=d,a'\cdot x+y=d'$ gilt.

Literatur

• O. Chein, H. O. Pflugfelder, J. D. H. Smith (Hrsg.): Quasigroups and Loops: Theory and Application (= Sigma Series in Pure Mathematics. Band 8). Heldermann Verlag, Berlin 1990, ISBN 3-88538-008-0. 
• Sibylla Prieß-Crampe: Angeordnete Strukturen. Gruppen, Körper, projektive Ebenen (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 98). Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1983, ISBN 3-540-11646-X (Geordnete Loops). 

Automorphismen

Einzufügen in "Spezielle Strukturen"

Geometrie

In der Geometrie besteht die Struktur, die durch einen Automorphismus bijektiv auf sich selbst abgebildet wird, aus Objekten unterschiedlichen Typs (klassisch ist der Typ eines Objektes seine Dimension). Im einfachsten Fall gibt es genau zwei Typen: Punkte (eindimensional) und Blöcke (in speziellen Fällen werden die Blöcke auch Geraden genannt).