Benutzer:Digamma/Euklidischer Raum

Der euklidische Punktraum

Euklidische Vektorräume dienen oft als Modelle für den Euklidischen Raum. Die Elemente des Vektorraums werden dann je nach Kontext als Punkte oder Vektoren bezeichnet. Es wird nicht zwischen Punkten und ihren Ortsvektoren unterschieden. Rechnerisch kann dies von Vorteil sein. Begrifflich ist des jedoch unbefriedigend:

• Aus geometrischer Sicht sollten Punkte und Vektoren begrifflich unterschieden werden.

• Vektoren können addiert werden, Punkte aber nicht.
• Punkte werden durch Vektoren verbunden, bzw. ineinander übergeführt.

• Im Vektorraum gibt es einen ausgezeichneten Punkt, den Nullpunkt. In der euklidischen Geometrie sind aber alle Punkte gleichberechtigt.

Abhilfe schafft das Konzept des Euklidischen Punktraums. Dies ist ein affiner Raum über einem euklidischen Vektorraum. Hier unterscheidet man Punkte und Vektoren.

• Die Gesamtheit der Punkte bildet den euklidischen Punktraum. Dieser wird meist mit $E$, $E^{n}$ oder $\mathbb {E} ^{n}$m bezeichnet. (Das hochgestellte $n$ ist kein Exponent, sondern ein Index, der die Dimension kennzeichnet. $E^{n}$ ist also kein kartesisches Produkt.)
• Die Gesamtheit aller Vektoren bilden einen euklidischen Vektorraum $V$.
• Zu je zwei Punkten $P$ und $Q\in E$ existiert genau ein Verbindungsvektor, der mit ${\overrightarrow {PQ}}$ bezeichnet wird.
  Der Verbindungsvektor eines Punktes mit sich selbst ist der Nullvektor: ${\overrightarrow {PP}}={\vec {0}}$
• Ein Punkt $P$ kann durch einen Vektor ${\vec {v}}$ in eindeutiger Weise in einen Punkt $Q$ übergeführt werden. Dieser wird oft mit $P+{\vec {v}}$ bezeichnet. (Dies ist eine rein formale Schreibweise. Das Pluszeichen bezeichnet keine Vektorraumaddition, und auch keine Addition auf dem Punktraum.)
  Der Nullvektor führt jeden Vektor in sich selbst über: $P+{\vec {0}}=P$
• Führt der Vektor ${\vec {v}}$ den Punkt $P$ in den Punkt $Q$ über und der Vektor ${\vec {w}}$ den Punkt $Q$ in den Punkt $R$, so führt ${\vec {v}}+{\vec {w}}$ den Punkt $P$ in den Punkt $R$ über. Dies kann wie folgt ausgedrückt werden:

  $(P+{\vec {v}})+{\vec {w}}=P+({\vec {v}}+{\vec {w}})$

  ${\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}={\overrightarrow {PR}}$

In der Sprache der Algebra bedeuten diese Eigenschaften: Die additive Gruppe des Vektorraums $V$ operiert auf der Menge $E$.

Streckenlängen, Abstände zwischen Punkten, Winkel und Orthogonalität können nun mit Hilfe des Skalarprodukts von Vektoren definiert werden:

Bezeichnet ${\overline {PQ}}$ die Länge der Strecke $[PQ]$ und $d(P,Q)$ den Abstand der Punkte $P$ und $Q$, so setzt man

$d(P,Q)={\overline {PQ}}=|{\overrightarrow {PQ}}|.$

Die Größe des Winkels $\sphericalangle QRP$ definiert man durch

$\sphericalangle QRP=\sphericalangle ({\overrightarrow {PQ}},{\overrightarrow {PR}})$

Zwei Strecken $[PQ]$ und $[RS]$ sind genau dann orthogonal, wenn die zugehörigen Vektoren ${\overrightarrow {PQ}}$ und ${\overrightarrow {PQ}}$ orthogonal sind.

Abbildungen eines euklidischen Punktraums auf sich, die Längen erhalten heißen Kongruenzabbildungen (in der ebenen Geometrie) oder Bewegungen. Sie erhalten automatisch auch Winkel. Bildet eine solche Abbildung $f\colon E\to E$ den Punkt $P$ auf den Punkt $P'$ ab, so existiert eine Vektorraum-Isometrie ${\vec {f}}\colon V\to V$, so dass für alle Punkte $Q$ gilt:

$f(Q)=P'+{\vec {f}}({\overrightarrow {PQ}})$

Der reelle Koordinatenraum

Definition

Der $n$-dimensionale reelle Koordinatenraum $\mathbb {R} ^{n}$ ist das $n$-fache kartesische Produkt der Menge $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen, also die Menge der $n$-Tupel $(x_{1},\dots ,x_{n})$ wobei die $x_{i}$ reelle Zahlen sind. Man bezeichnet die Elemente des $\mathbb {R} ^{n}$ je nach Kontext als Punkte oder als Vektoren, unterscheidet also nicht zwischen Punkten und Vektoren.

Als Vektoren werden sie komponentenweise addiert und mit reellen Zahlen multipliziert:

$x+y=(x_{1},\dots ,x_{n})+(y_{1},\dots ,y_{n})=(x_{1}+y_{1},\dots ,x_{n}+y_{n})$

$r\,x=r\,(x_{1},\dots ,x_{n})=(rx_{1},\dots ,rx_{n})$

Also Vektoren aufgefasst werden die Elemente des $\mathbb {R} ^{n}$ oft als Spaltenvektoren (d. h. $(n\times 1$)-Matrizen) geschrieben:

$x={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}};\ y={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}};\ x+y={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\\vdots \\x_{n}+y_{n}\end{pmatrix}};\ r\,x=r{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx_{1}\\\vdots \\rx_{n}\end{pmatrix}}$

Das Skalarprodukt ist definiert durch

$x\cdot y=(x_{1},\dots ,x_{n})\cdot (y_{1},\dots ,y_{n})=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}$.

Mit diesem Skalarprodukt ist der $\mathbb {R} ^{n}$ ein euklidischer Vektorraum.

Vom euklidischen Vektorraum/Punktraum zum Koordinatenraum

Wählt man in einem euklidischen Vektorraum eine Orthonormalbasis bzw. in einem euklidischen Punktraum ein kartesisches Koordinatensystem (d. h. einen Koordinatenursprung und eine Orthonormalbasis des Vektorraums), so wird dadurch jedem Vektor bzw. Punkt ein Koordinaten $n$-Tupel zugeordnet. Auf diese Art erhält man eine Isometrie zwischen dem gegebenen euklidischen Raum und dem Koordinatenraum und kann diese vermöge dieser Isometrie miteinander identifizieren. Dies rechtfertigt es, den $\mathbb {R} ^{n}$ als den euklidischen Raum zu bezeichnen. Die Isometrie hängt jedoch von der Wahl der Orthonormalbasis und im Fall des Punktraums des Ursprungs ab.

Länge, Winkel, Orthogonalität, Standardbasis und Abstände

Die Länge oder euklidische Norm eines Vektors ist wie in jedem euklidischen Vektorraum durch die Quadratwurzel aus dem Skalarprdodukt mit sich selbst gegeben:

$|x|={\sqrt {x\cdot x}}={\sqrt {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}$

Der Winkel zwischen zwei Vektoren $x$ und $y$ berechnet sich dann durch

$\cos \sphericalangle (x,y)={\frac {x\cdot y}{|x|\,|y|}}={\frac {x_{1}y_{1}+\dots +x_{n}y_{n}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+\dots +y_{n}^{2}}}}}$

Zwei Vektoren $x$ und $y$ sind genau dann orthogonal, $x\perp y$, wenn

$x\cdot y=x_{1}y_{1}+\dots +x_{n}y_{n}=0$

gilt. Die Vektoren der Standardbasis

$e_{1}=(1,0,\dots ,0,0)\ ,\quad e_{2}=(0,1,\dots ,0,0)\ ,\quad \dots \ ,\quad e_{n}=(0,0,\dots ,0,1)$

sind Einheitsvektoren und paarweise orthogonal, bilden also eine Orthonormalbasis.

Fasst man die Elemte des $\mathbb {R} ^{n}$ als Punkte auf, so ist der Abstand zwischen den Punkten $x$ und $y$ als die Länge des Verbindungsvektors $y-x$ definiert:

$d(x,y)=|y-x|={\sqrt {(y-x)\cdot (y-x)}}={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+\dots +(y_{n}-x_{n})^{2}}}$

Isometrien

Vektorraum-Isometrien (lineare Isometrien) des $\mathbb {R} ^{n}$ sind orthogonale Abbildungen, die durch orthogonale Matrizen dargestellt werden. Ist $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ eine lineare Isometrie und ist

$f(e_{i})={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{n1}\end{pmatrix}}\$

das Bild des $i$-ten Standardbasisvektors ($i=1,\dots n$), so lässt sich $f(x)$ mit Hilfe der Matrizenmultiplikation darstellen als

$f(x)=Ax={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

Jede Isometrie (Bewegung) $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ des Punktraum $\mathbb {R} ^{n}$ lässt sich in der Form

$f(x)=Ax+b={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$

als Verknüpfung einer orthogonalen Abbildung $x\mapsto Ax$ und einer Parallelverschiebung (Translation) $x\mapsto x+b$ darstellen.

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Algebraische Beschreibung

Indem man eine Orthonormalbasis wählt, lässt sich jeder beliebige euklidische Raum der Dimension $n$ ($n>0$) als das $n$-fache kartesische Produkt der reellen Zahlenmenge $\mathbb {R}$ beschreiben. Da bei dieser Beschreibung keine Informationen verlorengehen (die Räume sind isomorph und zwar so, dass das Skalarprodukt erhalten wird), wird der Begriff häufig auf diesen speziellen Raum eingeengt, der dann als $\mathbb {R} ^{n}$ oder auch $E^{n}$ bezeichnet wird.

Durch koordinatenweise Addition und Multiplikation mit Skalaren wird er zu einem reellen Vektorraum, auf dem für zwei beliebige Punkte ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ und ${\vec {y}}=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$ ein Skalarprodukt definiert werden kann, indem die Koordinaten paarweise multipliziert und die entstehenden Produkte aufaddiert werden. In drei Dimensionen ergibt sich so zum Beispiel

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}$.

Dieses Skalarprodukt, das sog. Standardskalarprodukt, ermöglicht die algebraische Definition von Abständen und Winkeln. Dazu wird zunächst für jeden Punkt $x$ eine Norm genannte Länge festgelegt, die durch die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst definiert ist. Wiederum in drei Dimensionen ergibt sich zum Beispiel:

$\|{\vec {x}}\|=|{\vec {x}}|={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}={\sqrt {(x_{1})^{2}+(x_{2})^{2}+(x_{3})^{2}}}$.

Der Abstand zweier Punkte $x$ und $y$ ergibt sich nun durch die euklidische Metrik $d(x,y)$ (euklidischer Abstand), die sich als Norm der Differenz $x-y$ errechnet. Als Beispiel in drei Dimensionen gilt dann

$d({\vec {x}},{\vec {y}})=|{\vec {x}}-{\vec {y}}|={\sqrt {({\vec {x}}-{\vec {y}})\cdot ({\vec {x}}-{\vec {y}})}}={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}}$.

Winkel zwischen zwei Vektoren $x$ und $y$ werden durch die Kosinus-Funktion festgelegt und zwar definiert sich der Kosinus des Winkels als Quotient aus dem Skalarprodukt von $x,y$ und dem Produkt ihrer Normen

$\cos \alpha ({\vec {x}},{\vec {y}})={\frac {{\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}{|{\vec {x}}||{\vec {y}}|}}$.