Benutzer:Digamma/Basiswechsel

Der Basiswechsel oder die Basistransformation ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit den Übergang zwischen zwei verschiedenen Basen eines endlichdimensionalen Vektorraums über einem Körper $K$. Dadurch ändern sich im Allgemeinen die Koordinaten der Vektoren. Der Basiswechsel kann durch eine Basiswechselmatrix beschrieben werden, mit der sich auch die Koordinaten bzgl. der neuen Basis ausrechnen lassen.

Gegeben sei also eine Basis $B=\{b_{1}\ldots b_{n}\}$ und eine zweite Basis $B'=\{b'_{1}\ldots b'_{n}\}$. Ein Vektor $v$ habe bezüglich der Basis $B$ die Koordinaten $(x_{1},\dots ,x_{n})$, das heißt

$v=x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+\dots +x_{n}b_{n}$

Gesucht sind die Koordinaten $(x_{1}',\dots ,x_{n}')$ von $x$ bezüglich der neuen Basis $B'$, so dass also gilt

$v=x_{1}'b_{1}'+x_{2}'b_{2}'+\dots +x_{n}'b_{n}'$.

Dazu stellt man die alten Basisvektoren $b_{j}$ als Linearkombinationen der neuen Basisvektoren $b_{i}'$ dar:

$b_{j}=a_{1j}b_{1}'+a_{2j}b_{2}'+\dots +a_{nj}b_{n}'$

und erhält so

${\begin{aligned}v&=\sum _{j}x_{j}b_{j}=\sum _{j}x_{j}\sum _{i}a_{ij}b_{i}'\\&=\sum _{i}\left(\sum _{j}a_{ij}x_{j}\right)b_{i}'\end{aligned}}$

Durch Koeffizientenvergleich erhält man

$x_{i}'=\sum _{j}a_{ij}x_{j},$

bzw. in Matrizenschreibweise:

$x'={\begin{pmatrix}x_{1}'\\\vdots \\x_{n}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=Ax$

Die Matrix $A=(a_{ij})$ heißt Basiswechselmatrix oder Transformationsmatrix des Basiswechsels. Sie wird im Folgenden mit $T_{B'}^{B}$ bezeichnet.

Der Basiswechsel ist ein Automorphismus und kann somit als eine lineare Abbildung $f:V\rightarrow V$, welche Vektoren zur Basis $B=\left\{b_{1}\ldots b_{n}\right\}$ in die Basis $B'=\left\{{b'}_{1}\ldots {b'}_{n}\right\}$ überträgt, aufgefasst werden. Dabei gilt $f(b_{i})={b'}_{i},\;i=1,\dots ,n$.

Weiter kann jeder Basisvektor $b'_{i}$ der neuen Basis $B'$ als Linearkombination von Basisvektoren $b_{i}$ der ursprünglichen Basis $B$ mit Koeffizienten $a_{ij}\in K$ dargestellt werden:

$b_{i}'=a_{i1}b_{1}+a_{i2}b_{2}+\dots +a_{in}b_{n}={\begin{pmatrix}a_{i1}\dots a_{in}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$

Transformationsmatrix

Die Matrix des Basiswechsels, auch Transformationsmatrix zum Basiswechsel von $B$ nach $B'$ genannt, erhält man mit den obigen Vektoren $a_{i}$ als Spaltenvektoren. Man bezeichnet sie mit $T_{B'}^{B}$:

$T_{B'}^{B}={\begin{pmatrix}{\vec {a}}_{1}\dots {\vec {a}}_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

Diese Matrix ist quadratisch und invertierbar und somit ein Element der allgemeinen linearen Gruppe $Gl\left(n,K\right)$. Die entsprechende inverse Matrix $\left(T_{B'}^{B}\right)^{-1}=T_{B}^{B'}$ beschreibt den Basiswechsel von $B'$ zurück nach $B$. Die Transformationsmatrix $T_{B'}^{B}$ ist identisch mit der Matrix $M_{B}^{B'}(id)$ der Identitätsabbildung bei Verwendung unterschiedlicher Basen.

Die Berechnung der Koordinaten $b$ bzgl. der Basis $B$ eines Vektors erfolgt durch Multiplikation der Koordinaten $b'$ bzgl. $B'$ mit der Transformationsmatrix

$b=T_{B}^{B'}\cdot b'$

Man beachte hierbei die „Anordnung“ der Basen in der obigen Formel. Diese kehrt sich bezüglich der ursprünglichen Transformationsmatrix T um.

Isometrien

Einen Sonderfall des Basiswechsels stellen Isometrien dar. Jede Isometrie $T_{B'}^{B}$ wechselt die Basis und lässt dabei den Betrag der Vektoren unverändert, sodass für alle $b\in B$ gilt: $|b|=|T_{B'}^{B}\cdot b|$. Um einen solchen Betrag definieren zu können, sollte der Körper einen Betrag haben, z.B. $\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$. Als Betrag des Vektors kommen dann verschiedene Vektornormen in Frage.

In euklidischen bzw. unitären Räumen sind die Isometrien Elemente der orthogonalen bzw. unitären Gruppe. Sie können im Grunde als Drehungen bzw. Drehspiegelungen aufgefasst werden.

Anwendung

Basiswechselmatrizen besitzen vielfältige Anwendungsmöglichkeiten in der Mathematik und Physik.

In der Mathematik

Eine Anwendung von Basiswechselmatrizen in der Mathematik ist die Veränderung der Gestalt der Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung um die Rechnung zu vereinfachen.

Betrachtet man beispielsweise eine beliebige diagonalisierbare $n\times n$-Matrix $A$. Möchte man nun $A^{p}\left(p\geq 1\right)$ berechnen, so benötigt die direkte Berechnung ${\mathcal {O}}\left((p-1)n^{3}\right)$ Flops. Da $A$ diagonalisierbar ist existieren eine Diagonalmatrix $D$ und eine Basiswechselmatrix $T\in Gl\left(n,K\right)$ sodass

$A=T\cdot D\cdot T^{-1}\Rightarrow A^{p}=\left(T\cdot D\cdot T^{-1}\right)^{p}=T\cdot D^{p}\cdot T^{-1}$

Die Berechnung der rechten Seite benötigt hingegen nur ${\mathcal {O}}\left(2n^{3}\right)$ Flops. Somit ist die Berechnung mit Hilfe der Diagonalmatrix für $p\geq 3$ schneller.

Beispiel

Wir betrachten zwei Basen $B$ und $C$ des $\mathbb {R} ^{3}$:

$B=\left\{b_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}},b_{2}={\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}},b_{3}={\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}\right\}$

$C=\left\{c_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},c_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},c_{3}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\right\}$

wobei die Koordinatendarstellung der Vektoren die Vektoren bezüglich der Standardbasis beschreibt.

Die Abbildung eines Vektors

$v=\beta _{1}b_{1}+\beta _{2}b_{2}+\beta _{3}b_{3}=\gamma _{1}c_{1}+\gamma _{2}c_{2}+\gamma _{3}c_{3}$

ergibt sich durch die Darstellung der alten Basisvektoren $(b_{1},b_{2},b_{3})$ bezüglich der neuen Basis $(c_{1},c_{2},c_{3})$ und deren Gewichtung mit $(\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3})$.

Um die Matrix der Basistransformation $T_{C}^{B}$ von $B$ nach $C$ zu berechnen, müssen wir die drei linearen Gleichungssysteme

$b_{i}=T_{1i}c_{1}+T_{2i}c_{2}+T_{3i}c_{3}$

nach den 9 Unbekannten $T_{ji}$ auflösen.

Dies kann mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus für alle 3 Gleichungssysteme simultan erfolgen. Dazu wird folgendes LGS aufgestellt:

$\left({\begin{array}{c c c | c c c}1&0&1&1&3&2\\0&1&1&0&1&1\\1&1&0&2&0&1\end{array}}\right)$

Durch Umformen mit elementaren Zeilenoperationen lässt sich die linke Seite auf die Einheitsmatrix bringen und auf der rechten Seite erhält man die Matrix

${\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&1&1\\{\frac {1}{2}}&-1&0\\-{\frac {1}{2}}&2&1\end{pmatrix}}$.

Wir betrachten einen Vektor $v$, der bezüglich der Standardbasis die Koordinatendarstellung $(5,2,7)$ besitzt. Bezüglich $B$ ist

$v=2b_{1}-b_{2}+3b_{3}={\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}_{B}$.

Das Subskript bezeichne die zur Koordinatendarstellung gehörige Basis. Um nun die Koordinatendarstellung bezüglich $C$ zu berechnen, müssen wir die Transformationsmatrix auf diesen Spaltenvektor anwenden:

${\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&1&1\\{\frac {1}{2}}&-1&0\\-{\frac {1}{2}}&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}}_{C}$.

Also ist

$v=5c_{1}+2c_{2}+0c_{3}={\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}}_{C}$.