Asymptotisch flache Mannigfaltigkeit

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In der Differentialgeometrie ist eine asymptotisch flache Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren Krümmung im Unendlichen verschwindend gering wird.

Genauer soll für die Norm des Riemannschen Krümmungstensors im Abstand von einem festen Basispunkt eine Ungleichung

gelten mit einer monoton fallenden positiven Funktion , für die ist.

Asymptotisch flache Mannigfaltigkeiten sind homotopie-äquivalent zum Inneren einer kompakten Mannigfaltigkeit mit Rand.[1] Aus dem Volumenvergleichssatz von Bishop-Gromov folgt, dass das Volumenwachstum einer asymptotisch flachen -Mannigfaltigkeit höchstens polynomiell vom Grad ist. Falls das Volumenwachstum tatsächlich Grad hat, ist die Mannigfaltigkeit asymptotisch lokal euklidisch.[2]

Einzelnachweise

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  1. A. Petrunin, W. Tuschmann: Asymptotical flatness and cone structure at infinity. Math. Ann. 321, 775–788 (2001)
  2. S. Bando, A. Kasue, H. Nakajima: On a construction of coordinates at infinity on manifolds with fast curvature decay and maximal volume growth. Invent. Math. 97, 313–349 (1989)