(31,10,3)-Blockplan
Der (31,10,3)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste ein kombinatorische Problem gelöst werden:
Eine leere 31×31-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 10 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 3 Einsen in der gleichen Spalte besitzen. Die Lösung dieses Problems ist nicht trivial. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 31, k = 10, λ = 3), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Bezeichnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Dieser symmetrische 2-(31,10,3)-Blockplan wird Triplane der Ordnung 7 genannt.
Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 31, k = 10, λ = 3 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 31 Blöcken und 31 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 10 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 3 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 10 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 3 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es existieren genau 151 nichtisomorphe 2-(31,10,3) - Blockpläne[1][2]. Eine dieser Lösungen ist:
Liste der Blöcke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
1 2 3 4 8 12 16 20 24 28 1 2 3 5 9 13 17 21 25 29 1 2 3 6 10 14 18 22 26 30 7 8 9 10 12 13 14 20 21 22 11 12 13 14 16 17 18 24 25 26 15 16 17 18 20 21 22 28 29 30 4 5 6 19 20 21 22 24 25 26 8 9 10 23 24 25 26 28 29 30 4 5 6 12 13 14 27 28 29 30 4 5 6 8 9 10 16 17 18 31 1 8 13 18 19 22 25 27 28 31 1 4 7 12 17 22 23 26 29 31 1 5 7 8 11 16 21 26 27 30 1 6 9 11 12 15 20 25 30 31 1 6 7 10 13 15 16 19 24 29 1 5 10 11 14 17 19 20 23 28 1 4 9 14 15 18 21 23 24 27 2 10 12 17 19 21 24 27 30 31 2 6 7 14 16 21 23 25 28 31 2 4 7 10 11 18 20 25 27 29 2 5 8 11 14 15 22 24 29 31 2 5 7 9 12 15 18 19 26 28 2 4 9 11 13 16 19 22 23 30 2 6 8 13 15 17 20 23 26 27 3 9 14 16 19 20 26 27 29 31 3 5 7 13 18 20 23 24 30 31 3 6 7 9 11 17 22 24 27 28 3 4 10 11 13 15 21 26 28 31 3 4 7 8 14 15 17 19 25 30 3 6 8 11 12 18 19 21 23 29 3 5 10 12 15 16 22 23 25 27
Inzidenzmatrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
O O O O . . . O . . . O . . . O . . . O . . . O . . . O . . . O O O . O . . . O . . . O . . . O . . . O . . . O . . . O . . O O O . . O . . . O . . . O . . . O . . . O . . . O . . . O . . . . . . . O O O O . O O O . . . . . O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O . O O O . . . . . O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O . O O O . . . . . O O O . . . . O O O . . . . . . . . . . . . O O O O . O O O . . . . . . . . . . . . O O O . . . . . . . . . . . . O O O O . O O O . . . . O O O . . . . . O O O . . . . . . . . . . . . O O O O . . . . O O O . O O O . . . . . O O O . . . . . . . . . . . . O O . . . . . . O . . . . O . . . . O O . . O . . O . O O . . O O . . O . . O . . . . O . . . . O . . . . O O . . O . . O . O O . . . O . O O . . O . . . . O . . . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . . O . O O . . O . . . . O . . . . O . . . . O O O . . . . O O . . O . . O . O O . . O . . . . O . . . . O . . O . . . O . . . . O O . . O . . O . O O . . O . . . . O . . . O . . O . . . . O . . . . O O . . O . . O . O O . . O . . . . . O . . . . . . . O . O . . . . O . O . O . . O . . O . . O O . O . . . O O . . . . . . O . O . . . . O . O . O . . O . . O . O . O . . O . . O O . . . . . . O . O . . . . O . O . O . . . O . . O . . O . . O . . O O . . . . . . O . O . . . . O . O . O . . O . O . O . . O . . O . . O O . . . . . . O . O . . . . O . O . . . . O . O . O . . O . . O . . O O . . . . . . O . . O . . . O . O . . . . O . O . O . . O . . O . . O O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . O . . O O . . . . . O O . O . O . . O . O . O . . . . . O . . . . O . O . . O O . . . . . O O . . O . . O O . O . O . . . . . O . . . . O . O . . O O . . . . . O O . . . . . O O . O . O . . . . . O . . . . O . O . . O . . O O . . O O . . . . . O O . O . O . . . . . O . . . . O . . . O . . O . O . . O O . . . . . O O . O . O . . . . . O . . . . O . O . . . . O . O . . O O . . . . . O O . O . O . . . .
Oval[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier sind alle 7 Ovale maximaler Ordnung dieses Blockplans (in jeder Zeile ist ein Oval durch die Menge seiner Punkte dargestellt):
- Lösung 1 (sämtliche Ovale)
7 11 15 23 7 11 19 31 7 15 27 31 7 19 23 27 11 15 19 27 11 23 27 31 15 19 23 31
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- ↑ Edward Spence: A Complete Classification of Symmetric (31,10,3) Designs. In: Designs, Codes and Cryptography. Bd. 2, Nr. 2, 1992, S. 127–136, doi:10.1007/BF00124892.
- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.