Koordinatensystem

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Zahlenstrahl (oben), ebene kartesische Koordinaten (unten)

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

Die Felder des Schachbretts werden mit einem Zahlen-Buchstaben-Paar bezeichnet.

Ein Koordinatensystem dient dazu, Punkte einer Punktmenge mit Hilfe von Zahlen, den Koordinaten, in eindeutiger Weise zu beschreiben. Die einfachsten Beispiele sind ein Zahlenstrahl und kartesische Koordinaten in der euklidischen Ebene. Im ersten Fall wird einem Punkt einer Gerade eine reelle Zahl zugeordnet. Im zweiten Fall wird ein Punkt durch zwei reelle Zahlen beschrieben. Dass es meistens unendlich viele Möglichkeiten gibt, ein Koordinatensystem einzuführen, erkennt man am Beispiel des Zahlenstrahls: Man hat unendlich viele Möglichkeiten einen Punkt als Nullpunkt auszuwählen, d.h. den Punkt, dem die Zahl 0 zugeordnet werden soll. Aber selbst nach der Wahl eines Nullpunktes gibt es noch unendlich viele Möglichkeiten ein Koordinatensystem einzuführen. So lässt sich in der eukldischen Ebene jedes (verschiedene) Paar von Zahlenstrahlen durch einen zuerst gewählten Nullpunkt als Koordinatenachsen wählen. Ein Punkt wird dann durch ein geordnetes Zahlenpaar $(x,y)$ beschrieben. Geordnet bedeutet: $(x,0),\;x\in \mathbb {R} ,$ beschreibt die Punkte der 1. Koordinatenachse (x-Achse) und $(0,y),\;y\in \mathbb {R} ,$ die 2. Koordinatenachse (y-Achse). Die hier beschriebenen Koordinatensysteme der euklidischen Ebene sind affine Koordinatensysteme und sind besonders gut geeignet, Greraden einfach (durch lineare Gleichungen) zu beschreiben.

Spielen andere Kurven, z.B. Kreise, eine wesentliche Rolle, können Polarkoordinaten eine bessere Wahl sein. In diesem Fall lässt sich nur eine Koordinate als Länge interpretieren, die zweite Koordinate beschreibt einen Winkel.

Zur Beschreibung von euklidischen Räumen benötigt man mehr als zwei Koordinaten. Man spricht dann von einem n-Tupel (statt von einem Zahlenpaar).

Als Koordinatenbereiche können auch allgemeinere algebraische Bereiche, z.B. komplexe Zahlen, Körper, Schiefkörper, ... vorkommen. Eine Kombination aus Alphabet und natürlichen Zahlen wird bei der Beschreibung der Felder eines Schachbrettes benutzt.

Bei homogenen Koordinaten schwächt man die Eindeutigkeitsforderung etwas ab.

Der große Vorteil von Koordinaten aus einem algebraischen Zahlbereich ist die dann mögliche Lösung von geometrischen Problemen mit Hilfe der Algebra (z.B. Schnitt einer Gerade mit einem Kreis).

Der Begriff Koordinate – in der Bedeutung „Lageangabe“ – wurde im 18. Jahrhundert aus dem Wort Ordinate (Senkrechte) gebildet.

Affines Koordinatensytem

affine Koordinaten

→ Hauptartikel: Affine Koordinaten

Wählt man in der euklidischen Ebene drei nicht auf einer Gerade liegende Punkte $P_{0},P_{1},P_{2}$ aus, so sind die beiden Vektoren ${\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},{\overrightarrow {P_{0}P_{2}}}$ linear unabhängig. Mit dem Punkt $P_{0}$ als Nullpunkt, lässt sich der Ortsvektor ${\overrightarrow {P_{0}P}}$ eines beliebigen Punktes $P$ so schreiben:

${\overrightarrow {P_{0}P}}={\color {green}x}{\overrightarrow {P_{0}P_{1}}}+{\color {green}y}{\overrightarrow {P_{0}P_{2}}}\$

und dem Punkt $P$ das Zahlenpaar $\ ({\color {green}x},{\color {green}y})\$ als affine Koordinaten bezüglich den Basispunkten $P_{0},P_{1},P_{2}$ zuordnen.

Bilden die Vektoren ${\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},...$ eine Orthonormalbasis, so ergeben sich kartesische Koordinaten. In diesem Fall sind für einen Punkt $(x_{0},y_{0})$ die Punktmengen $x=x_{0}$ und $y=y_{0}$ sich orthogonal schneidende Geraden.

Links- und rechtshändiges (rechts) dreidimensionales Koordinatensystem

Entsprechend sind affine Koordinaten für höhere Dimensionen erklärt.

Koordinaten auf diese Weise zu definieren ist für jeden n-dimensionalen affinen Raum über einem Körper möglich, ist also nicht auf einen euklidischen Raum beschränkt.

Da der 3-dimensionale Raum in der Praxis eine wichtige Rolle spielt, gibt es für die Einführung von Koordinaten gewisse Vereinbarungen, z.B. das Rechtssystem.

Nicht-affine Koordinatensysteme

In der Ebene

Polarkoordinaten

elliptische Koord.

Da für Berechnungen von Längen und Winkel es von Vorteil ist, wenn die Kurven $x=x_{0}$ bzw. $y=y_{0}$ sich orthogonal schneiden, ist man an Kurvensystemen interessiert, die sich orthogonal schneiden.

Das einfachste nicht lineare orthogonale Kurvensystem besteht aus den Strahlen in einem Punkt $P_{0}$ und den zugehörigen konzentrischen Kreisen. Man erhält damit die Polarkoordinaten. Man beachte: Sie sind nur für Punkte $P\neq P_{0}$ definiert. Für die Radiuskoordinate gilt $0<r<\infty$. Der Winkelbereich besteht nur aus dem halboffenen Intervall $[0,2\pi [$.

Elliptische Koordinaten verwenden sich senkrecht schneidende Systeme von konfokalen Ellipsen und Hyperbeln. Diese Koordinaten sind für die Brennpunkte und die Punkte dazwischen nicht definiert.

Im Raum

Zylinderkoordinaten

Kugelkoordinaten

Die den Polarkoordinaten entsprechenden räumlichen Koordinaten sind die

Zylinderkoordinaten. Sie sind nur für Punkte außerhalb der Zylinderachse definiert. und die

Kugelkoordinaten. Auch hier gelten Einschränkungen der Definitionsbereiche und Punkte, denen Kugelkoordinaten zugeordnet werden.

Den (ebenen) elliptischen Koordinaten entsprechen die Ellipsoid-Koordinaten. Das hier verwendete orthogonale Flächensystem besteht aus konfokalen Ellipsoiden, einschaligen und zweischaligen Hyperboloiden.

Weiterhin gibt es noch die ellipsoidische Koordinaten, die zur Beschreibung von Punkten eines Rotations-Ellipsoids (Erde) verwendet werden.

Weitere krummlinige Koordinatensysteme

Weitere Beispiele und Anwendungen von Koordinatensystemen findet man in dem Artikel krummlinige Koordinaten.

Lokale Koordinatensysteme

Kugelkoordinaten mit zugehöriger lokaler Basis $\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi }$

Bestimmt man in einem Punkt $P_{0}=(x_{0},y_{0})$ die Tangentenrichtungen der Kurven $y=y_{0}$ und $x=x_{0}$ und normiert diese, so erhält man lokale Basisvektoren, die man für ein lokales kartesisches Koordinatensystem verwenden kann.

Bei kartesischen Koordinaten entsteht einfach ein zu dem gegebenen Koordinatensystem verschobenes System.

Bei Polarkoordinaten zeigt der eine Vektor in Radiusrichtung und der andere in Richtung der Tangente des Kreises durch $P_{0}$. Hier kann man sich das lokale System als Verschiebung und geeigneter Drehung aus dem globalen System entstanden denken.

Im Raum bestimmt man die Tangentenvektoren an die durch einen Punkt $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ gehenden Kurven $(x,y_{0},z_{0})$, $(x_{0},y,z_{0})$ und $(x_{0},y_{0},z)$. Siehe (im Bild) das Beispiel Kugelkoordinaten.

Koordinatentransformationen

Für das Umrechnen von Koordinaten eines Systems in die Koordinaten eines anderen Systems gibt es die Koordinatentransformationen.

Homogene Koordinaten in der Ebene

Die euklidische Ebene lässt sich auch mit homogenen Koordinaten beschreiben. Dabei werden einem Punkt $P=(x,y)$ drei homogene Koordinaten $(x_{1}:x_{2}:x_{3})$ so zugeordnet, dass auch $P=(cx_{1}:cx_{2}:cx_{3})$ für alle $c\neq 0$ gilt. Eine Standardzuordnung ist $P=(x:y:1)$. Setzt man $P=(x:y:1-x-y)$ erhält man baryzentrische Koordinaten. Der große Vorteil homogener Koordinaten ist, dass Punkte der Ferngerade einfach zu beschreiben sind: Im Standardfall durch die Gleichug $x_{3}=0$, im baryzentrischen Fall durch die Gleichung $x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$. Die bei affinen Koordinaten nötigen Grenzwert-Überlegungen werden im Standardfall zum einfachen Setzen von $x_{3}=0$.

In der Dreiecksgeometrie werden auch trilineare Koordinaten verwendet.

Weitere Koordinatensysteme

Einige nur in Fachgebieten (z. B. Geodäsie, Kartografie, Geographie, Fernerkundung, Astronomie, Amateurfunk) gebräuchliche Koordinatensysteme sind:

• Inertialsystem
• Geodätisches Koordinatensystem
• Geographisches Koordinatensystem
• Soldner-Koordinatensystem
• Gauß-Krüger-Koordinatensystem
• UTM-Koordinatensystem
  • UTM-Referenzsystem auch MGRS
• Astronomische Koordinatensysteme wie das ekliptikale oder galaktische
• Parallele Koordinaten
• Bewegte Koordinatensysteme
• Rotierende Koordinatensysteme
• Fahrzeugkoordinatensystem
• Weltkoordinatensystem
• QTH-Locator (Amateurfunk)
• Marinequadrate und Gradnetze (aus dem Zweiten Weltkrieg)

Weblinks

Wiktionary: Koordinate – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wiktionary: Koordinatensystem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Einfache und verständliche Erklärung (hpts. durch Abbildungen)
• Mathematisch exakte Definitionen (mit Formeln)
• Eric W. Weisstein: Coordinate System. In: MathWorld (englisch).

Literatur

• Kleine Enzyklopädie Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, 1977, ISBN 3 87144 323 9, S. 303.