Symmetrische Gleichung

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Eine symmetrische Gleichung, symmetrisches Polynom, reziproke Gleichung oder reziprokes Polynom ist eine polynomiale (ganzrationale) Gleichung, deren Koeffizientenfolge symmetrisch ist. Leonhard Euler hat diesen Gleichungstyp als reziproke Gleichung bezeichnet, da die Substitution von durch nach einfachen Umformungen wieder auf dieselbe Gleichung führt. Daneben ist mit jeder Nullstelle auch eine Nullstelle der Gleichung. Sind die Koeffizienten dem Betrag nach symmetrisch, unterscheiden sich aber nach dem Vorzeichen, spricht man von einer antisymmetrischen Gleichung.

Eine polynomiale Gleichung -ten Grades

heißt

  • symmetrisch, palindromisch[1] (engl.: palindromic polynomial oder auch self-reciprocal), wenn für alle gilt,
  • antisymmetrisch oder antipalindromisch, wenn für alle gilt.

Außerdem gilt im

  • symmetrischen Fall
  • antisymmetrischen Fall

Betrachtet man das symmetrische Polynom

(1)

und substituiert

(2)

so wird durch Multiplikation mit Gleichung (2) wieder die ursprüngliche Gleichung (1) überführt.
Aus dieser Äquivalenz folgt die von Euler erkannte reziproke Eigenschaft, dass mit auch eine Nullstelle einer symmetrischen Gleichung sein muss.

Weiterhin gilt mit , wobei ein Polynom vom Grad mit reellen oder komplexen Koeffizienten ist:

  • Wenn palindromisch oder antipalindromisch ist, ist
  • Wegen kann nie eine Nullstelle sein
  • Wenn antipalindromisch und gerade ist, gilt .
  • Wenn palindromisch und ungerade ist, gilt . Wenn antipalindromisch ist, gilt .
  • Wenn palindromisch oder antipalindromisch und ist, so ist und . und sind dann Nullstellen derselben Vielfachheit der (anti-)symmetrischen Gleichung .
  • Sind und palindromische Polynome, so ist auch das Produkt palindromisch. Sind beide Faktoren antipalindromisch, so ist das Produkt ebenfalls palindromisch. Ist ein Faktor palindromisch und der andere antipalindromisch, so ist das Produkt antipalindromisch.
  • Sind und palindromische oder antipalindromische Polynome, so ist auch palindromisch oder antipalindromisch.
  • Ist mit jeder Nullstelle der Gleichung auch der Reziprokwert eine Nullstelle der Gleichung mit derselben Vielfachheit wie , dann ist die Gleichung symmetrisch oder antisymmetrisch.
  • Ist ein Polynom vom Grad , so ist ein palindromisches und ein antipalindromisches Polynom vom Grad .
  • Ist ein palindromisches (bzw. antipalindromisches) Polynom vom Grad , so existiert genau ein Polynom vom Grad mit (bzw. ).
  • Wenn alle Koeffizienten reell sind und alle komplexen Nullstellen von den Betrag 1 haben, dann ist palindromisch oder antipalindromisch.[2]

Anwendungsgebiete (Beispiele)

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  • Die Kreisteilungspolynome sind symmetrisch.
  • Alexanderpolynome von Knoten (siehe Knotentheorie) sind symmetrisch. Für ein Alexander-Polynom der Form führt (nach Skalierung mit ) die Substitution auf das Conway-Polynom, ein spezielles Alexander-Polynom.

Allgemeine Lösungsstrategien

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Für allgemeine Gleichungen ab dem 5. Grad existiert keine allgemeine Lösungsformel zur Bestimmung der Nullstellen mehr. Symmetrische und antisymmetrische Gleichungen können dagegen aufgrund ihrer speziellen Eigenschaften bis zum 9. Grade auf Gleichungen bis 4. Grades zurückgeführt werden.

Symmetrische Gleichungen

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Aus dem verallgemeinerten Wurzelsatz von Vieta lässt sich allgemein ableiten, dass bei einem Polynom ist, also dass in das Produkt aller Nullstellen steckt. Bei einer symmetrischen Gleichung vom Grad ist der Koeffizient und aus der Symmetrie der Koeffizienten folgt auch, dass . Daher kann nie Nullstelle einer symmetrischen Gleichung sein kann, weil sonst sein müsste.

Symmetrischen Gleichungen ungeraden Grades

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Bringt man die symmetrische Gleichung auf Normalform, d. h. ist der Koeffizient der höchsten Potenz , so folgt daraus, dass auch der Koeffizient des absoluten Gliedes ist. Aus der oben gegebenen Darstellung von nach Vieta folgt, dass die Nullstellen paarweise reziprok zueinander sind und das Produkt dieser Paare jeweils mit dem Faktor 1 zu beiträgt. Die verbliebene Nullstelle muss bei ungeradem Grad und reellen Koeffizienten stets sein. Der entsprechende Linearfaktor wird mit Hilfe der Polynomdivision abdividiert, so dass eine symmetrische Gleichung mit einem um eins erniedrigten, geraden Grad entsteht.

Symmetrischen Gleichungen geraden Grades

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Die allgemeine Lösungsstrategie für symmetrische Gleichungen mit geradem Grad und reellen Koeffizienten beruht auf folgenden Schritten[3]:

  1. Division aller Glieder des Polynoms durch
  2. Zusammenfassen der Glieder mit gleichem Koeffizienten und Ausklammern des Koeffizienten
  3. Substitution anwenden, siehe Abschnitt Substitutionen
  4. Ausmultiplizieren führt zu einem Polynom in vom Grad
  5. Nullstellen für berechnen
  6. Einsetzen jeder Nullstelle von in die Substitutionsgleichung und Auflösung nach , so dass mit jedem zwei Nullstellen aus der Gleichung bestimmt werden können.

Für die Berechnung werden folgende Substitutionen verwendet:

Weitere Substitutionen für Potenzen ab lassen sich mit der folgenden Rekursionsformel aus bereits bekannten Substitutionen ermitteln:

Resubstitution zur Berechnung der Nullstellen

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Sobald man eine Nullstelle gefunden hat, löst man die einfachste Substitutionsgleichung nach auf. Dadurch ergeben sich für jedes zwei Nullstellen für aus der quadratischen Gleichung:

Aus der Symmetrie dieser Gleichung und weil das absolute Glied dieser quadratischen Gleichung in Normalform 1 ist, folgt aus dem Vietaschen Wurzelsatz, dass die beiden Nullstellen dieser quadratischen Gleichung zueinander reziprok sein müssen. Die Nullstellen ergeben sich nach der p-q-Formel zu:

mit .

Antisymmetrische Gleichungen

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Bei antisymmetrischen Gleichungen vom Grade gibt es bei ungeradem zu jedem Koeffizienten das negative Gegenstück, so dass gilt. Bei antisymmetrischen Gleichungen geraden Grades gibt es jedoch nur einen mittleren Koeffizienten, der für den folgenden Lösungsweg Null sein muss (), siehe auch Abschnitt ‘Eigenschaften’.

Antisymmetrische Gleichungen ungeraden Grades

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Aus dem Vietaschen Wurzelsatz lässt sich ableiten, dass asymmetrische Gleichungen bei ungeradem Grad und reellen Koeffizienten stets sein muss. Der entsprechende Linearfaktor wird mit Hilfe der Polynomdivision abdividiert, so dass eine Gleichung von geraden Grade entsteht.

Antisymmetrische Gleichungen geraden Grades

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Betrachtet man den Lösungsweg am Beispiel einer Gleichung 8. Grades, so ist die Ausgangsgleichung folgendermaßen aufgebaut:

Nun werden die zusammengehörigen Koeffizienten ausgeklammert, so dass nach Division durch und umordnen die folgende Darstellung ergibt

Hier lässt sich sofort der Faktor ausklammern und die Gleichung faktorisieren:

Der Faktor offenbart bereits zwei Nullstellen der antisymmetrischen Gleichung geraden Grades, nämlich –1 und +1.

Der andere Faktor wird zunächst auf die Form einer kubischen Gleichung gebracht und so wie bei der symmetrischen Gleichung zusammengefasst:

Wendet man die von der symmetrischen Gleichung bekannten Substitutionen mit an, ergibt sich:

Der weitere Lösungsweg entspricht dem der symmetrischen Gleichung.

Andere reziproke Gleichungen

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Für reziproke Gleichungen, bei denen neben jedem auch immer eine Nullstelle ist, lassen sich Substitutionen konstruieren und damit Nullstellen berechnen. Dazu eignet sich die Substitution

Mit den bereits beschriebenen Methoden können Substitutionen von höheren Potenzen ermittelt werden:

Wie sich hier zeigt, ist für die geraden Potenzen von eine Summe, keine Differenz.

Damit lassen sich beispielsweise folgende spezielle Gleichungstypen lösen:

Wie an den Beispielen leicht zu erkennen ist, haben diese Gleichungen nicht die Struktur einer antisymmetrischen Gleichung im Sinne der oben gegebenen Definition. Die Lösung durch Substitution ist nur möglich, wenn ungleiche Vorzeichen stets und nur bei den Koeffizienten von ungeraden Potenzen auftreten.

Lösungsformeln für spezielle Gleichungen

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Die folgenden Beispiele zeigen, wie die Substitution auf eine Gleichung in führt.

Symmetrische Gleichung 4. Grades

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Für eine quartische Gleichung

ergibt sich nach Division durch und Zusammenfassung der Glieder:

Nach der Substitution mit und ergibt sich die quadratische Gleichung in :

Daraus ermittelt man die beiden Nullstellen und . Im nächsten Schritt wird die Substitution rückgängig gemacht und alle vier Nullstellen der quartischen Gleichung durch Auflösung von für jedes der beiden berechnet.

Beispiel: Die Gleichung wird durch die gezeigte Substitution zur quadratischen Gleichung . Daraus ergeben sich die Nullstellen und .

Für die Resubstitution sucht man sich die einfachste Gleichung aus, nämlich , formt sie zur quadratischen Gleichung um und setzt und ein:

  • Mit ergibt sich und die Nullstellen 3 und
  • Mit ergibt sich und die Nullstellen −2,

Dies sind auch die Nullstellen der quartischen Ausgangsgleichung.

Symmetrische Gleichung 6. Grades

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Für eine Gleichung 6. Grades in Normalform

ergibt sich nach Division durch und Zusammenfassung der Glieder:

Nach der Substitution mit und und ergibt sich die kubische Gleichung in :

Daraus ermittelt man die Nullstellen , und mit Hilfe der Lösungsformeln für die kubischen Gleichung.

Symmetrische Gleichung 8. Grades

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Für eine Gleichung 8. Grades in Normalform

ergibt sich nach Division durch und Zusammenfassung der Glieder:

Nach der Substitution mit und , und ergibt sich die quartische Gleichung in :

Daraus ermittelt man die Nullstellen , , und mit Hilfe der Lösungsformeln für die quartische Gleichung.

Weitere Beispiele

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  • Die Nullstellen der quadratischen Gleichung lassen sich mit den bekannten Lösungsformeln am schnellsten bestimmen.
  • Bei symmetrischen kubischen Gleichungen mit reellen Koeffizienten ist −1 eine Nullstelle. Danach führt eine Polynomdivision zu einer quadratischen (symmetrischen) Gleichung.
Beispiele:
  • Die symmetrische Gleichung 3. Grades hat eine Nullstelle bei –1. Division durch führt zu , woraus sich die weiteren Nullstellen und –3 berechnen lassen.
  • Die antisymmetrische Gleichung 3. Grades hat eine Nullstelle bei 1. Division durch führt wieder zu , woraus sich die weiteren Nullstellen und –3 berechnen lassen.
  • Die symmetrische Gleichung 5. Grades hat eine Nullstelle bei –1. Division durch führt zu , woraus sich die weiteren Nullstellen –3, , 2, berechnen lassen.

Einzelnachweise

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  1. Frank Celler: Konstruktive Erkennungsalgorithmen klassischer Gruppen in GAP (Dissertation) [1] (GZIP; 233 kB)
  2. The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials[2]
  3. Bibliographisches Institut (Hrsg.): MEYERS Großer Rechenduden. Bibliographisches Institut AG, Mannheim 1961, DNB 453937608, Stichwort ‘Gleichungen’, S. 215 ff.