Lokal konstante Funktion

Die auf $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ beschränkte Vorzeichenfunktion ist lokal konstant

In der Mathematik heißt eine Funktion $f\colon T\to M$ von einem topologischen Raum $T$ in eine Menge $M$ lokal konstant, wenn für jedes $x\in T$ eine Umgebung $U$ von $x$ existiert, auf der $f$ konstant ist.

Eigenschaften

• Jede konstante Funktion ist auch lokal konstant.
• Jede lokal konstante Funktion von $\mathbb {R}$ in eine beliebige Menge $M$ ist konstant, da $\mathbb {R}$ zusammenhängend ist und nicht durch mindestens zwei disjunkte offene Mengen zu überdecken ist.
• Jede lokal konstante holomorphe Funktion $f\colon M\to \mathbb {C}$ von einer offenen Menge $M$ in die komplexen Zahlen ist konstant, wenn $M$ ein Gebiet ist, also zusammenhängend ist.
• Allgemein ist jede lokal konstante Funktion konstant auf jeder Zusammenhangskomponente, für lokal zusammenhängende Räume gilt auch die Umkehrung.
• Eine Abbildung $f\colon T\to D$ von einem topologischen Raum $T$ in einen diskreten Raum $D$ ist genau dann stetig, wenn sie lokal konstant ist.
• Jede Abbildung $f\colon D\to T$ von einem diskreten Raum $D$ in einen beliebigen topologischen Raum $T$ ist lokal konstant.
• Die Menge der lokal konstanten Funktionen auf einem Raum bilden auf natürliche Weise eine Garbe kommutativer Ringe.

Beispiele

• Die Funktion $f\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {Q}$, definiert durch $f(x)=0$ für $x<\pi$ und $f(x)=1$ für $x>\pi$ ist lokal konstant. (Hierbei geht ein, dass $\pi$ irrational ist, da so $\{x\mid x<\pi \}$ und $\{x\mid x>\pi \}$ offene Mengen sind, die $\mathbb {Q}$ überdecken.)
• Die Funktion $g\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R}$, definiert durch $g(x)=0$ für $x<0$ und $g(x)=1$ für $x>0$, ist ebenso lokal konstant.
• Die Vorzeichenfunktion ist lokal konstant.
• Treppenfunktionen sind nicht lokal, sondern stückweise konstant.