In der Mathematik ist die Bochner-Martinelli-Formel eine Verallgemeinerung der Cauchyschen Integralformel auf Funktionen mehrerer Veränderlicher.
Sie besagt, dass für eine auf dem Abschluss eines Gebiets
D
⊂
C
n
{\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}
mit glattem Rand stetig differenzierbare Funktion
f
:
D
→
C
{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }
f
(
z
)
=
∫
∂
D
f
(
ζ
)
ω
(
ζ
,
z
)
−
∫
D
∂
¯
f
(
ζ
)
∧
ω
(
ζ
,
z
)
{\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\int _{D}{\overline {\partial }}f(\zeta )\land \omega (\zeta ,z)}
und insbesondere für eine holomorphe Funktion
f
:
D
→
C
{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }
f
(
z
)
=
∫
∂
D
f
(
ζ
)
ω
(
ζ
,
z
)
{\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z)}
jeweils mit
ω
(
ζ
,
z
)
=
(
n
−
1
)
!
(
2
π
i
)
n
1
|
z
−
ζ
|
2
n
∑
1
≤
j
≤
n
(
ζ
¯
j
−
z
¯
j
)
d
ζ
¯
1
∧
d
ζ
1
∧
⋯
∧
d
ζ
j
∧
⋯
∧
d
ζ
¯
n
∧
d
ζ
n
{\displaystyle \omega (\zeta ,z)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}{\frac {1}{|z-\zeta |^{2n}}}\sum _{1\leq j\leq n}({\overline {\zeta }}_{j}-{\overline {z}}_{j})\,d{\overline {\zeta }}_{1}\land d\zeta _{1}\land \cdots \land d\zeta _{j}\land \cdots \land d{\overline {\zeta }}_{n}\land d\zeta _{n}}
gilt.
ω
(
ζ
,
z
)
{\displaystyle \omega (\zeta ,z)}
wird auch als Bochner-Martinelli-Kern bezeichnet.
Enzo Martinelli : Alcuni teoremi integrali per le funzioni analitiche di più variabili complesse , Atti della Reale Accademia d’Italia. Memorie della Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 9 (7), S. 269–283, 1938.
Salomon Bochner : Analytic and meromorphic continuation by means of Green's formula , Annals of Mathematics, Second Series, 44 (4), S. 652–673, 1943.