Elementargebiet
Ein Gebiet heißt Elementargebiet (teilweise auch Stammgebiet) genau dann, wenn jede auf holomorphe Funktion eine Stammfunktion besitzt, das heißt, auf gilt die Aussage des Integralsatzes von Cauchy.
Charakterisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es gelten folgende Charakterisierungen für ein Elementargebiet :
- ist einfach zusammenhängend, das heißt, jede geschlossene Kurve in ist nullhomotop, das heißt, auf den Anfangspunkt stetig zusammenziehbar. Anschaulich bedeutet dies, dass keine Löcher hat.
- ist homolog einfach zusammenhängend, das heißt, jeder Zyklus in ist nullhomolog, das heißt, das Innere des Zyklus liegt vollständig in .
- ist konform äquivalent zu ganz oder zur Einheitskreisscheibe , das heißt, es existiert eine biholomorphe Abbildung von zu oder zu , vergleiche: riemannscher Abbildungssatz.
Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Sind und Elementargebiete, deren Schnitt zusammenhängend und nicht leer ist, so ist auch ein Elementargebiet.
- Ist eine Folge von Elementargebieten, für die gilt, so ist auch ein Elementargebiet.
Aus Kreisscheiben lassen sich mittels dieser beiden Operationen alle Elementargebiete erzeugen.
Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Folgende Gebiete sind Elementargebiete:
- und
- jedes Sterngebiet
- die geschlitzte Ebene
Folgendes Gebiet ist kein Elementargebiet:
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4