Die Halbwinkelsätze sind Formeln der Trigonometrie , die für spezielle, logarithmisch brauchbare Anwendungsfälle zur Ermittlung der Bestimmungsgrößen (Seiten a, b, c; Winkel
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
γ
{\displaystyle \gamma }
Dreiecken entwickelt wurden. Entsprechende Sätze gelten für allgemeine Dreiecke auf einer Kugeloberfläche (sphärische Geometrie ).
allgemeines Dreieck
sin
α
2
=
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
b
c
{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-c)}{bc}}}}
cos
α
2
=
s
(
s
−
a
)
b
c
{\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {s(s-a)}{bc}}}}
tan
α
2
=
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
(
s
−
a
)
{\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}}}
wobei
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
Die zur dritten Formel äquivalente Aussage
cot
α
2
=
s
−
a
ρ
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{\rho }}={\sqrt {\frac {s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}}}
ist auch als Kotangenssatz bekannt.
ρ
{\displaystyle \rho }
Inkreisradius .
Entsprechende Formeln gelten für die anderen Winkel.
sin
α
2
=
sin
(
s
−
b
)
sin
(
s
−
c
)
sin
b
sin
c
{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\,\sin(s-c)}{\sin b\,\sin c}}}}
cos
α
2
=
sin
s
sin
(
s
−
a
)
sin
b
sin
c
{\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin s\,\sin(s-a)}{\sin b\,\sin c}}}}
tan
α
2
=
sin
(
s
−
b
)
sin
(
s
−
c
)
sin
s
sin
(
s
−
a
)
{\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\,\sin(s-c)}{\sin s\,\sin(s-a)}}}}
wobei
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
