Siebzehneck
Das Siebzehneck oder Heptadekagon ist eine geometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehn Punkte, die durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind. Im Folgenden werden ausschließlich das regelmäßige Siebzehneck, das konvex ist, siebzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, sowie das regelmäßige überschlagene Siebzehneck beschrieben.
Seit mehr als 2000 Jahren war man aufgrund von Fehlversuchen überzeugt, dass das Siebzehneck nicht konstruierbar sei, sprich es gäbe keine Lösung allein mit Zirkel und Lineal.[1] Erst Ende des 18. Jahrhunderts entdeckt ein damals achtzehnjähriger Carl Friedrich Gauß die Formel, mit deren Hilfe eine korrekte zeichnerische Darstellung gelingt. Die im Folgenden beschriebenen Konstruktionen für ein Siebzehneck sind eine Auswahl aus Lösungen mit sehr unterschiedlichen Vorgehensweisen.
Geschichte
Konstruktionen zu Vielecken, wie regelmäßigen Drei-, Vier-, Fünf- und Sechsecken sowie deren Verdoppelungen sind schon seit Euklids Elementen (3. Jahrhundert v. Chr.) bekannt, aber es war niemandem gelungen, z. B. ein Sieben- oder Neuneck zeichnerisch darzustellen. In den vielen folgenden Jahrhunderten festigte sich deshalb die Annahme: Weitere konstruierbare Vielecke werde man nicht finden.[1] Mehr als 2000 Jahre später waren Erstaunen und Interesse groß, als der achtzehnjährige Gauß am 29. März 1796 im „Intelligenzblatt der allgem. Literatur-Zeitung“ als Stud. der Mathematik zu Göttingen seine neue Entdeckung (vorerst ohne weitere Details) ankündigt.[2]
Am 30. März 1796, also kurz vor seinem 19. Geburtstag (30. April), macht Gauß den ersten Eintrag in seinem Mathematischen Tagesbuch. Darin beschreibt er in lateinischer Sprache und in kurzen Worten seine Entdeckung, die zur Konstruierbarkeit des Siebzehneck führt (siehe nebenstehendes Bild).[3]
Die ausführliche Erklärung dazu folgt fünf Jahre später im vorletzten Abschnitt seines Werks Disquisitiones Arithmeticae (1801) („Untersuchungen über höhere Arithmetik“).[4] Darin zeigt und beweist Gauß u. a. die Formel für den Kosinus des Zentriwinkels, der allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Wie der Kosinus des Zentriwinkels konstruktiv dargestellt werden kann, enthält das Werk nicht. Noch im selben Jahr, am 21. Juni, stellt Gauß in der St. Petersburger Akademie die Kurzfassung seiner Formel vor (Näheres im Abschnitt Eigenschaften).
In seinem Brief an Gerling vom 6. Januar 1819 macht Gauß auf den Druckfehler in „Disquisitiones arithmeticae“ bezüglich seiner Formel aufmerksam:
„
Dies ist dieselbe Formel, die in meinen D[isquisitione] A[rithmeticae] p. 662 steht, nur ist dort durch einen Druckfehler statt des , welches hier mit bezeichnet ist, ein gesetzt, oder, was dasselbe ist, die dortige Formel stellt nicht , sondern , d.i. vor, also die doppelte Seite des 34-Ecks.“
Die ersten Konstruktionsbeschreibungen für ein Siebzehneck kamen Anfang des 19. Jahrhunderts. Carl Friedrich Gauß erhält im März 1802 einen Brief von Johann Friedrich Pfaff – ehemals Lehrer und Förderer von Gauß. Pfaff zitiert darin die (möglicherweise erste) Konstruktion eines Sechzehnecks aus einem Brief seines Kollegen Christoph Friedrich von Pfleiderer.[6] T. P. Stowell sendet 1818 eine Basiskonstruktion an Leybourns mathematische Zeitschrift The Mathematical Repository mit dem Anliegen, den 1806 verfassten Artikel über das Siebzehneck erneut zu drucken.[7][8] Magnus Georg Paucker findet seine Version eines Siebzehnecks im Jahr 1819. Die vielleicht bekannteste Darstellung zeigt Herbert Richmond 1893.[9] Im Jahr 1897 veröffentlicht L. Gérard ein Siebzehneck, dessen Konstruktion er nur mit einem Zirkel mithilfe des Satzes von Mohr-Mascheroni erstellte. Duane DeTemple wiederum nimmt 1991 die sogenannten Carlyle-Kreise zu Hilfe, um seine Lösung des Siebzehnecks zu veröffentlichen. Am 23. Februar 2005 erscheint in Göttingen, anlässlich des 150. Todestages von Carl Friedrich Gauß, ein Katalog zur Ausstellung im Alten Rathaus am Markt. Hans Vollmayr erläutert darin eine Konstruktion des Siebzehnecks, in der als Ansatz die Kurzformel für den Kosinus des Zentriwinkels dient.[10]
Eigenschaften
Das Besondere an einem regelmäßigen Siebzehneck ist die Tatsache, dass es konstruierbar ist – es kann somit unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal (den euklidischen Werkzeugen) gezeichnet werden –, diese Konstruierbarkeit jedoch über Jahrtausende nicht nachgewiesen werden konnte. Der Nachweis gelang erst Carl Friedrich Gauß im Jahr 1796.[11] Er zeigte, dass für den Kosinus des Zentriwinkels
gilt,[A 1] woraus sich die Konstruierbarkeit ergibt. Außerdem lassen sich damit auch verschiedene Größen des Siebzehnecks wie Seitenlänge, Umfang, Inkreisradius, Diagonale über zwei Seiten und Flächeninhalt berechnen.
Am 21. Juni 1801 stellte Gauß der St. Petersburger Akademie für seine obige Formel eine sogenannte Kurzfassung in drei Schritten vor, die sich aus der Gruppierung von Summen einzelner Kosinuswerte ergibt. Friedrich L. Bauer beschreibt sie 2009 in seinem Buch Historische Notizen zur Informatik im Kapitel Carl Friedrich Gauß, das 17-Eck und MATHEMATICA[12] ausführlich, es sei deshalb hier nur das Ergebnis der Kurzfassung erwähnt.
Mit den darin u. a. eingeführten Hilfsgrößen
- und
gilt somit für den Kosinus des Zentriwinkels auch:[13]
Seitenlänge | |||
Umfang | |||
Inkreisradius | |||
Diagonale über zwei Seiten | |||
Flächeninhalt | |||
Innenwinkel |
Mathematischer Hintergrund
Der Entdeckung von Gauß liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung zugrunde, deren Lösungen – es handelt sich um die siebzehnten Einheitswurzeln – in der Gaußschen Zahlenebene der komplexen Zahlen ein regelmäßiges Siebzehneck mit Umkreisradius 1 bilden. Diese Gleichung kann allein durch den Gebrauch geschachtelter Quadratwurzeln gelöst werden (siehe oben für den Realteil der Lösung , die entgegen dem Uhrzeigersinn zur Lösung 1 am nächsten liegt). Gauß erkannte 1796 als 18-Jähriger diese Möglichkeit „[d]urch angestrengtes Nachdenken … am Morgen … (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)“[14] aufgrund allgemeiner zahlentheoretischer Eigenschaften von Primzahlen, in diesem Fall konkret der Primzahl 17: Die modulo einer Primzahl gebildeten, von 0 verschiedenen Restklassen können nämlich als Potenzen einer geeignet gewählten Zahl , Primitivwurzel genannt, dargestellt werden. Insbesondere im Fall kann konkret gewählt werden, wie eine rekursive Berechnung der Potenzen zeigt:
und verfährt man so weiter, ergeben sich die weiteren Restklassen modulo . Sortiert man nun die von 1 verschiedenen 17. Einheitswurzeln entsprechend, das heißt in der Reihenfolge
so erhält man durch Teilsummation von jeder zweiten, jeder vierten, beziehungsweise jeder achten Einheitswurzel aus dieser Auflistung die sogenannten Gaußschen Perioden: zwei 8-gliedrige Perioden mit je 8 Summanden, vier 4-gliedrige Perioden mit je 4 Summanden und acht 2-gliedrige Perioden mit je 2 Summanden. Aufgrund prinzipieller Eigenschaften oder aber durch explizite Berechnung lässt sich dafür zeigen:[A 2]
- Die beiden 8-gliedrigen Perioden sind Lösungen einer quadratischen Gleichung mit ganzen Koeffizienten.
- Die vier 4-gliedrigen Perioden sind Lösungen von zwei quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 8-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
- Die acht 2-gliedrigen Perioden sind Lösungen von vier quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 4-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
Dabei gilt für die zweigliedrige Periode zur „ersten“ Einheitswurzel .
Der beschriebene Ansatz lässt sich analog für jede Primzahl der Form durchführen. Fünf solche Primzahlen, die Fermatsche Primzahlen genannt werden, sind bekannt: 3, 5, 17, 257, 65537. Daher gehören auch das regelmäßige 257-Eck und das regelmäßige 65537-Eck zu den konstruierbaren Polygonen.
Geometrische Konstruktionen
Konstruktion nach Christoph Friedrich von Pfleiderer
Johann Friedrich Pfaff schreibt am 22. März 1802 aus Helmstedt einen Brief an Gauß (erstmals veröffentlicht 1917). Darin zitiert er aus einem Brief – den er von Christoph Friedrich von Pfleiderer erhalten hat – die folgende möglicherweise erste Konstruktion eines regelmäßigen Siebzehnecks.[6]
Konstruktionsbeschreibung von Ch. F. von Pfleiderer (freie Übersetzung):
“Angesichts des Durchmessers des Kreises wird zu seinem Ende eine Normale gezogen, auf der zuerst ; dann und , beide , abgeschnitten werden. Halbieren Sie und in den Punkten und und ziehen Sie zum Mittelpunkt des gegebenen Kreises die Linien und . Von der Senkrechten werden und abgeschnitten. Zur Geraden wird zum Punkt die Normale gezogen und anschließend mit verbunden. Über ziehen Sie einen Kreis, der die Gerade in schneidet. Schließlich wird um den Mittelpunkt mit Radius ein Kreis beschrieben, der den Kreis um bei schneidet. sei die Seite eines regelmäßigen Polygons mit 17 Seiten, das in den gegebenen Kreis eingeschrieben werden soll.”
Konstruktion nach T. P. Stowell
Das Finden der folgenden Basiskonstruktion eines regelmäßigen Siebzehnecks aus dem Jahr 1818 ist W. E. Heal aus Wheeling in Indiana geschuldet. Er stellte in der mathematischen Zeitschrift The Analyst, im März 1877, zur Konstruktion der Polygone 17-Eck und 257-Eck allein mit Zirkel und Lineal, die Frage: „Wie wird dies bewiesen?“ [15] J. E. Hendricks, Herausgeber von The Analyst, beantwortete in der Ausgabe vom Mai 1877, Nr. 3. seine Frage, darin zitierte er auch T. P. Stowell aus Rochester, N. Y.: „Vielleicht würde es einige Ihrer Leser interessieren, einen in [Thomas Leybourns] Mathematical Repository (Band I, 2. Folge) 1806 veröffentlichten Artikel erneut zu drucken.“[8] Da der Platz für eine vollständige Veröffentlichung des Artikels aus der angegebenen Quelle nicht zur Verfügung stand, wurde in The Analyst nur ein Ausschnitt davon sowie die von T. P. Stowell gesendete und Leybourns Mathematical Repository 1818 zugeschriebene Konstruktion eines Polygons mit 17 Seiten eingefügt.[7][A 3]
Konstruktionsbeschreibung von T. P. Stowell (Übersetzung):
“ZUR KONSTRUKTION eines regelmäßigen Polygons von siebzehn Seiten im Kreis.
Zeichnen Sie den Radius rechtwinklig zum Durchmesser : Für nehmen Sie die Hälfte von und für den achten Teil vom Radius []: Nehmen Sie für und für jeweils gleich , für gleich und gleich ; für nehmen Sie die mittlere Proportionale zwischen und [A 4] und ziehen Sie durch parallel zu , trifft in auf den über beschriebenen Halbkreis;[A 5] zeichnen Sie parallel zu , schneidet den gegebenen Kreis in – der Bogen ergibt den siebzehnten Teil des gesamten Umfangs.”
Konstruktion nach Georg Paucker
Magnus Georg Paucker legte 1819 seine geometrische Konstruktionsanleitung für das Siebzehneck der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst vor, wo sie 1822 veröffentlicht wurde.[17]
Die folgende Konstruktionsanleitung enthält die Konstruktion nach Magnus Georg Paucker.[18] sowie deren Weiterführung bis zum fertigen Siebzehneck. Die in der Originalzeichnung von Paucker enthaltenen Radien und die meisten Diagonalen dienen der Darstellung von in seiner Originalbeschreibung stehenden Formeln und sind für die geom. Konstruktion nicht erforderlich. Sie wurden hier weggelassen.
- Zeichne auf dem Durchmesser um den Mittelpunkt den Umkreis des werdenden 17-Ecks.
- Errichte den Durchmesser senkrecht zu .
- Halbiere den Radius in .
- Verlängere ab .
- Trage die Strecke ab auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist .
- Halbiere in .
- Halbiere in .
- Trage die Strecke ab auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist .
- Errichte den Radius senkrecht zu Durchmesser .
- Halbiere in .
- Trage die Strecke ab auf ab, Schnittpunkt ist .
- Konstruiere den Halbkreis über .
- Konstruiere den Halbkreis über , Schnittpunkt mit ist .
- Zeichne die Parallele zu ab , Schnittpunkt mit Halbkreis über ist .
- Fälle das Lot von L auf , Fußpunkt ist . Es gilt ist die Seite des 34-Ecks.
- Von hier aus zwei Möglichkeiten als Beispiele:
- Ziehe einen Halbkreis um mit dem Radius , damit ergibt sich auf dem Umkreis der Punkt und ein z. B. mit bezeichneter Punkt. Die Strecke ist die gesuchte Seite des 17-Ecks.
- Trage die Seite vierzehnmal auf dem Umkreis ab.
- oder:
- Es gilt auch , demzufolge trage auf dem Umfang in Richtung Punkt ab und du erhältst Punkt .
- Trage , also die Diagonale über zwei Seiten, von beginnend weitere Male auf dem Umfang ab, bis alle Ecken markiert sind.
- Jeweils abschließend:
- Verbinde die so gefundenen Punkte zu einem vollständigen 17-Eck.
Konstruktion nach Herbert Richmond
Im Jahr 1825 legte Johannes Erchinger eine Konstruktion der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen vor, die Gauß daraufhin in den Göttingischen Gelehrten Anzeigen besprach. Eine zeichnerische Darstellung von diesem Siebzehneck ist nicht überliefert.[19] Die folgende einfachere Konstruktion stammt von Herbert William Richmond aus dem Jahr 1893.[20]
Ist der Umkreis des entstehenden Siebzehnecks mit dem Mittelpunkt gegeben, kann das Siebzehneck konstruiert werden durch:
- Zeichnen eines Durchmessers durch den Mittelpunkt Schnittpunkt mit Umkreis ist , später zusätzlich mit bezeichnet.
- Errichten eines Radius senkrecht zu auf bis zum Umkreis; Schnittpunkt mit Umkreis ist .
- Konstruktion des Punktes durch Vierteln des Radius ; liegt näher an .
- Konstruktion des Punktes durch Vierteln des Winkels .
- Konstruktion des Punktes mithilfe einer Senkrechten auf mit Fußpunkt ; Halbierung des -Winkels; Schnittpunkt mit Durchmesser ist und Winkel ist .
- Konstruktion des Thaleskreises über ; Schnittpunkt mit ist .
- Zeichnen des Halbkreises um den Mittelpunkt mit dem Radius ; Schnittpunkte mit dem Durchmesser sind und (dabei liegt sehr nahe beim Mittelpunkt des Thaleskreises über .
- Errichten der Senkrechten auf die Mittelachse ab ; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt des Siebzehnecks; der Kreisbogen ist somit des Umkreisumfanges.
- Errichten der Senkrechten auf die Mittelachse ab ; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt ; der Kreisbogen ist somit des Umkreisumfanges.
- Ein vierzehnmaliges Abtragen der Diagonale auf dem Umkreis, ab dem Eckpunkt gegen den Uhrzeigersinn, ergibt der Reihe nach die Eckpunkte und .
- Verbinden der so gefundenen Punkte , …, vervollständigt das 17-Eck.
Konstruktion nach L. Gérard
Pietro Ermenegildo Daniele, ein italienischer Mathematiker (1875–1949), beschreibt im sechsten Artikel seines Werkes Über die Konstruktionen des regulären Siebzehnecks eine Konstruktion nach L. Gérard[21] mithilfe des Satzes von Mohr-Mascheroni.
Gérards Siebzehneck – allein mit einem Zirkel konstruiert – wurde in Mathematische Annalen (48. Band) im Jahr 1897 veröffentlicht.[22][23]
- Um die Erklärungen von Daniele zum mathematischen Hintergrund (§ 4. Die Konstruktion von Gérard, ab Seite 183) nachvollziehen zu können, wurden die Bezeichnungen der Schnittpunkte übernommen. In der folgenden Konstruktion entsteht jeder Schnittpunkt durch das Kreuzen zweier Kreise. Für eine bessere Übersichtlichkeit ersetzen kurze Kreisbögen die entsprechenden Kreise (siehe Animation).
Konstruktionsbeschreibung (in Klammer die Bildnummer):
- (1) Es beginnt mit einem Kreis mit beliebigem Radius um den Mittelpunkt .
- (2), (3), (4) Nun trägt man im Uhrzeigersinn dreimal den Radius auf den Umkreis des entstehenden Siebzehnecks auf, dabei ergeben sich die Schnittpunkte sowie der erste Eckpunkt
Es folgt die Ermittlung des Mittelpunktes des Radius .
- (5) Zwei Kreisbögen um mit dem Radius und zwei Kreisbögen um mit dem Radius erzeugen die Schnittpunkte und .
- (6) Je ein Kreisbogen um und mit Radius liefert den Schnittpunkt
Es geht weiter mit dem Bestimmen der noch erforderlichen Schnittpunkte bis .
- (7) je ein Kreisbogen um und mit Radius
- (8) und zwei Kreisbögen um mit Radius
- (9) und zwei Kreisbögen um mit Radius
- (10) und je einen Kreisbogen um und mit Radius
- (11), (12) und je einen Kreisbogen um und mit Radius sowie zwei Kreisbögen um mit Radius
- (13) je einen Kreisbogen um und mit Radius
- (14), (15) und je einen Kreisbogen um und mit Radius sowie zwei Kreisbögen um mit Radius
- (16) je ein Kreisbogen um und mit Radius
- (17) und je zwei Kreisbögen um und mit Radius
- (18) je ein Kreisbogen um und mit Radius
- (19) Jetzt bedarf es nur noch zweier Kreisbögen um mit Radius , um zwei weitere Eckpunkte und zu erhalten.
- Die Abstände und entsprechen jeweils einer Seitenlänge des entstehenden Siebenecks.
- (20) Abschließend liefern die noch fehlenden 14 Eckpunkte, durch Abtragen des Abstandes auf den Umkreis, ein regelmäßiges Siebzehneck allein mit dem Zirkel erstellt.
Konstruktion nach Duane DeTemple
Duane W. DeTemple veröffentlichte im Jahr 1991 in der mathematischen Zeitschrift The American Mathematical Monthly eine Konstruktion des Siebzehnecks.[24] Für seine Lösung verwendete er u. a. vier sogenannte Carlyle-Kreise.
Konstruktionsbeschreibung:
- Zeichne die x-Achse und setze darauf den Punkt
- Zeichne um den Einheitskreis mit Radius Schnittpunkte mit sind und
- Konstruiere die y-Achse vom Umkreis des entstehenden 17-Ecks, Schnittpunkt mit ist
- Halbiere den Radius in
- Ziehe den Kreisbogen mit dem Radius um
- Errichte eine Senkrechte auf dem Radius ab Schnittpunkt mit ist
- Ziehe den Carlyle-Kreisbogen um durch (mit ) so, dass er die x-Achse vom Umkreis zweimal trifft, Schnittpunkte sind und
- Halbiere die Strecke in
- Halbiere die Strecke in
- Ziehe den Carlyle-Kreisbogen um ab bis auf die x-Achse, Schnittpunkt ist
- Ziehe den Carlyle-Kreisbogen um ab bis auf die x-Achse, Schnittpunkt ist
- Trage von Punkt aus auf der Geraden ab. Du erhältst Punkt
- Verbinde mit
- Halbiere die Strecke in
- Ziehe den Carlyle-Kreisbogen um ab bis auf die x-Achse, Schnittpunkt ist
- Ziehe den Kreisbogen mit dem Radius um Schnittpunkte mit dem Umkreis sind die Eckpunkte und somit ist die Strecke die erste Seite des gesuchten 17-Ecks.
- Ein vierzehnmaliges Abtragen der Strecke auf dem Umkreis ab dem Eckpunkt gegen den Uhrzeigersinn, ergibt der Reihe nach die Eckpunkte bis
- Verbinde die so gefundenen Punkte und dann ist das 17-Eck vollständig gezeichnet.
Konstruktion mithilfe der gaußschen Kurzfassung der Formel
Anlässlich der 150. Wiederkehr des Todestages von Carl Friedrich Gauß am 23. Februar 2005 gab es in Göttingen im Alten Rathaus am Markt vom 23. Februar bis zum 15. Mai 2005 die Ausstellung „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Der Katalog zu dieser Ausstellung, herausgegeben von Elmar Mittler, enthält Aufsätze in diversen Rubriken. Im Abschnitt Mathematik ist der Beitrag 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal von Hans Vollmayr zu finden.[10] Die im Folgenden dargestellte Konstruktion ist prinzipiell den Kapiteln Das Siebzehneck: die Rechnung[25] und Das Siebzehneck: die Zeichnung[26] entnommen.
Die Kurzfassung der Formel für den Kosinus des Zentriwinkels (siehe Eigenschaften),
erleichtert eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die mithilfe der Hilfsgrößen, quasi Schritt für Schritt, den Kosinus des Zentriwinkels liefert. Ein möglicher Lösungsweg ist, die Hilfsgrößen zeichnerisch separat in drei Bildern (1–3) mit elementaren algebraischen Operationen darzustellen. Dies macht die Konstruktion übersichtlich und allgemein gut nachvollziehbar.
Konstruktion der Hilfsgrößen p und q sowie des Produkts qq
Darin gilt sowie
- Ab Punkt eine Halbgerade ziehen, darauf mit Lot auf Strecke in errichten und ab auf Lot übertragen ergibt
- Lot auf in mit Länge ergibt anschließend Halbgerade von durch ergibt
- Kreis um durch ergibt auf Halbgerade, ist Hilfsgröße
- Viertelkreis um durch ergibt und nun mit verbinden, anschließende Parallele zu ab ergibt sowie mit das Produkt
- Zu zweimal die Länge addieren, ergibt und anschließend in halbieren und um über Halbkreis ziehen.
- Lot auf in bis Halbkreis ergibt anschließend zu ab Hilfsgröße addieren, ergibt
- in halbieren ergibt Hilfsgröße
- Viertelkreis um ab ergibt anschließend Viertelkreis um ab ergibt
- mit verbinden, anschließende Parallele zu ab ergibt sowie mit das Produkt
Konstruktion der Hilfsgrößen p' und q'
Darin gilt sowie
- Ab Punkt eine Halbgerade ziehen, darauf mit Lot auf Strecke in errichten und ab auf Lot übertragen ergibt
- Lot auf in mit der Länge ergibt anschließend Halbgerade von durch ergibt
- Kreis um durch ergibt auf Halbgerade, ist Hilfsgröße
- Viertelkreis um durch ergibt und nun mit verbinden, anschließende Parallele zu ab ergibt sowie mit das Produkt
- Zu zweimal die Länge addieren, ergibt und anschließend in halbieren und um über Halbkreis ziehen.
- Lot auf in bis Halbkreis ergibt anschließend von ab Hilfsgröße subtrahieren, ergibt
- in halbieren ergibt mit Hilfsgröße
Konstruktion der Wurzel aus qq − 2q' und des Kosinus des Zentriwinkels μ
- Ab Punkt eine Halbgerade ziehen, darauf Produkt aus Bild (1) übertragen ergibt anschließend Länge aus Bild (1) ab übertragen ergibt
- Von die Länge aus Bild (2) ab Punkt subtrahieren ergibt anschließend in halbieren und um über Halbkreis ziehen.
- Lot auf in bis Halbkreis ergibt
- Strecke einzeichnen und dazu Hilfsgröße aus Bild (1) ab addieren ergibt anschließend in halbieren, die Strecke ist der Kosinus des Zentriwinkels des Siebzehnecks.
- Um Punkt Umkreis mit dem Radius (z. B. mit Strecke ) ziehen, anschließend Radius einzeichnen, ergibt
- auf ab übertragen, ergibt
- Lot auf in bis Umkreis ergibt ersten Eckpunkt des entstehenden Siebzehnecks.
- fünfzehnmal gegen den Uhrzeigersinn auf dem Umkreis abtragen und abschließend die benachbarten Ecken verbinden. Somit ist das regelmäßige Siebzehneck fertiggestellt.
Grundsätzlich wäre es auch möglich, den von Gauß zuerst gefundenen (langen) Ausdruck als konstruierte Strecke darzustellen. In der einschlägigen Literatur wird aber keine derartige Lösung beschrieben.
Vorkommen
In der Leipziger Mädlerpassage ist in der Kuppel der Rotunde eine Fensterrose eingelassen, deren Umriss einem Siebzehneck gleicht. Sie misst etwa zwölf Meter im Durchmesser und befindet sich ungefähr auf fünfzehn Meter Höhe.[27] Errichtet wurde die Fensterrose von dem Architekten Theodor Kösser innerhalb seines Projektes Mädlerpassage (1912–1914).
Regelmäßige überschlagene Siebzehnecke
Ein regelmäßiges überschlagenes Siebzehneck ergibt sich, wenn beim Verbinden der siebzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen , wobei die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder -te Punkt verbunden wird.
In der folgenden Galerie sind die sieben möglichen regelmäßigen Siebzehnstrahlsterne, auch Heptadekagramme genannt, dargestellt.
Siehe auch
Literatur
- Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-921986-5, Kapitel 5.8: Construction of the regular polygon of 17 sides, S. 71–77.
- Harold Scott MacDonald Coxeter: Introduction to Geometry. 2. Auflage. Wiley, 1989, ISBN 0-471-50458-0, S. 26–28.
- Karin Reich: Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). In: Rüdiger Thiele (Hrsg.): Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. GNT-Verlag, Berlin/Diepholz 2000, S. 101–118.
- Ian Stewart: Die letzten Rätsel der Mathematik. rororo 61694. 2. Auflage. Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg 2015, ISBN 978-3-499-61694-5, S. 494–496.
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Heptadecagon. In: MathWorld (englisch).
- Edmund Weitz: Das regelmäßige 17-Eck. In: YouTube. 2017 .
Anmerkungen
- ↑ Vgl. Folge A210644 in OEIS.
- ↑ Details siehe Bewersdorff, S. 92–96.
- ↑ In Leybourns Mathematical Repository 1806 ist kein Hinweis auf eine Abbildung (Fig.) der Konstruktion auf z. B. Plate II 27 to 51 (zwischen der Seite 80 und 81). Folgt man dem Eintrag in The Analyst 1877, so stammt T. P. Stowells Konstruktion spätestens aus dem Jahr 1818.
- ↑ Hierzu ist gleich und die Hälfte von , der Halbkreis über erzeugt den Schnittpunkt , ist die mittlere Proportionale von und .
- ↑ Mittelpunkt ist L.
Einzelnachweise
- ↑ a b Manfred Denker, Samuel James Patterson: Mathematik. Gauß – der geniale Mathematiker. Ausstellungskatalog: „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Hrsg.: Elmar Mittler. Univerlag, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 58, Das Siebzehneck (uni-goettingen.de [PDF; 2,1 MB; abgerufen am 19. April 2024]).
- ↑ Carl Friedrich Gauß: Intelligenzblatt der allgem. Literatur-Zeitung. Nr. 66, 1. Juni 1796, III. Neue Entdeckungen, Sp. 544 (google.de [abgerufen am 19. April 2024]). Titelblatt.
- ↑ Manfred Denker, Samuel James Patterson: Mathematik. Gauß – der geniale Mathematiker. Ausstellungskatalog: „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Hrsg.: Elmar Mittler. Univerlag, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 56, Das Mathematische Tagebuch (uni-goettingen.de [PDF; 2,1 MB; abgerufen am 19. April 2024]).
- ↑ Carl Friedrich Gauß: Disquisitiones arithmeticae. Hrsg.: Gerh. Fleischer, Jun. Leipzig 1801, Kap. 7, S. 662, Abschnitt 365 (Latein, archive.org [abgerufen am 19. April 2024]).
- ↑ Brief an Gerling, vom 6. Januar 1819 in Schriften der Gesellschaft zur Beförderung der gesamten Naturwissenschaften zu Marburg, 15. Band … Otto Elsner Verlagsgesellschaft m. b. H., Berlin 1927. Abgerufen am 19. April 2024.
- ↑ a b c d R. C. Archibald: The American Mathematical Monthly. In: JSTOR (Hrsg.): Mathematische Zeitschrift. Band 27, Nr. 7/9, 1920, Problems and Solutions, S. 323–326, Figur: S. 325, Gauss and the Regular Polygon of Seventeen Sides, JSTOR:2972265 (englisch). Abgerufen am 24. April 2024.
- ↑ a b c d J.E. Hendricks: The Analyst. In: J.E. Hendricks, A. M. (Hrsg.): Mathematische Zeitschrift. Band IV, Nr. 3. Mills & Co, Des Moines, Iowa Mai 1877, Solution of problems in number two, S. 94–95, Answer to Mr. Heal’s query (see page 64) (englisch, Antwort auf die Frage von Herrn W. E. Heal (siehe Seite 64) [abgerufen am 19. April 2024]).
- ↑ a b Thomas Leybourn: New series of the Mathematical Repository. In: Thomas Leybourn (Hrsg.): Mathematische Zeitschrift. Band I, Nr. 25. W. Glendinning, London 1806, Notices Relating to Mathematics, S. 77–78, I. Regular Polygon of Seventeen Sides (englisch, 1. Regelmäßiges Polygon mit siebzehn Seiten [abgerufen am 21. April 2024]).
- ↑ Herbert Schröder: Wege zur Analysis. 1. Reelle Zahlen. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2001, ISBN 978-3-540-42032-3, S. 10 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 21. April 2024]).
- ↑ a b Hans Vollmayr: 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal. In: Göttinger Bibliotheksschriften 30. „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Hrsg.: Elmar Mittler. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 90 ff. (17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal [PDF; abgerufen am 19. April 2024]).
- ↑ H. Maser: Die Teilungen des Kreises, … Artikel 365. In: Carl Friedrich Gauss’ Untersuchungen über höhere Arithmetik. Verlag von Julius Springer, Berlin 1889; Göttinger Digitalisierungszentrum, Universität Göttingen, S. 446 ff., abgerufen am 19. April 2024.
- ↑ Friedrich L. Bauer: Historische Notizen zur Informatik. Hrsg.: Springer-Verlag. Berlin/Heidelberg 2009, S. 413 (Google Books: Carl Friedrich Gauß, das 17-Eck und MATHEMATICA. Die Methode der Gruppierung [abgerufen am 19. April 2024]).
- ↑ Hans Vollmayr: 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal. In: Göttinger Bibliotheksschriften 30. „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Hrsg.: Elmar Mittler. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 103 (Das Siebzehneck: die Zeichnung → „…, so dass uns am Schluss nur noch die Gleichung … bleibt.“ [PDF; abgerufen am 19. April 2024]).
- ↑ Zitiert nach Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. Springer Spektrum, 6. Auflage 2019, ISBN 978-3-658-26151-1, S. 90, doi:10.1007/978-3-658-26152-8_7.
- ↑ W. E. Heal: The Analyst. In: J.E. Hendricks, A. M. (Hrsg.): Mathematische Zeitschrift. Band IV, Nr. 2. Mills & Co, Des Moines, Iowa März 1877, Problems, S. 64, Query, by W. E. Heal, Wheeling, Indiana (englisch, Frage von Herrn W. E. Heal aus Wheeling, Indiana [abgerufen am 19. April 2024]).
- ↑ Universität Magdeburg: A.14 Mittelwerte. Mittlere Proportionale. Seite 2, Punkt b) und Bild b). (PDF), abgerufen am 19. April 2024.
- ↑ Magnus Georg Paucker: Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundertsiebenundfunfzig-Ecks in den Kreis. In: Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst. Band 2, 1822, S. 160–219 (Einleitung, Beschreibung S. 187–188 [abgerufen am 19. April 2024]).
- ↑ Magnus Georg Paucker: Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundertsiebenundfunfzig-Ecks in den Kreis. In: Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst. Band 2, 1822 (Abbildung nach S. 416 in Tafel I, Fig. 12 [abgerufen am 19. April 2024]).
- ↑ Carl Friedrich Gauß: Göttingische Gelehrte Anzeigen. Band 87, Nr. 203, 19. Dezember 1825, S. 2025–2027 (books.google.de [abgerufen am 19. April 2024]).
- ↑ Herbert W. Richmond: A Construction for a regular polygon of seventeen sides. In: The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. Band 26, 1893, S. 206–207 (Beschreibung und Abbildung Fig. 6 [abgerufen am 19. April 2024]).
- ↑ Ermenegildo Daniele: Über die Konstruktionen des regulären Siebzehnecks. (PDF) § 4. Die Konstruktion von Gérard. In: RCIN.org.pl. S. 171 bzw. 183, abgerufen am 19. April 2024.
- ↑ Felix Klein, Walther Dyck, Adolph Mayer: Mathematische Annalen. Inhalt des achtundvierzigsten Bandes. In: gdz.sub.uni-goettingen.de. Göttinger Digitalisierungszentrum, 1897, abgerufen am 19. April 2024.
- ↑ L. Gérard: Mathematische Annalen. Construction du polygone régulier de 17 côtés au moyen du seul compas. In: gdz.sub.uni-goettingen.de. Göttinger Digitalisierungszentrum, 8. Juli 1896, S. 390–392, abgerufen am 19. April 2024.
- ↑ Duane W. DeTemple: Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions. ( vom 11. August 2011 im Internet Archive). In: The American Mathematical Monthly. Band 98, No. 2 (Feb. 1991), S. 101–104 (JSTOR:2323939), abgerufen am 19. April 2024.
- ↑ Hans Vollmayr: 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal. In: Göttinger Bibliotheksschriften 30. „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Hrsg.: Elmar Mittler. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 100–102 (Das Siebzehneck: die Rechnung [PDF; abgerufen am 19. April 2024]).
- ↑ Hans Vollmayr: 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal. In: Göttinger Bibliotheksschriften 30. „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Hrsg.: Elmar Mittler. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 102–103 (Das Siebzehneck: die Zeichnung [PDF; abgerufen am 19. April 2024]).
- ↑ Anke Beesch: Architektur. Historische Baukunst mitten in Leipzig. In: maedlerpassage.de. Mädler-Passage Leipzig, abgerufen am 19. April 2024.