„Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus“ – Versionsunterschied
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:<math>\operatorname{arsech}(x) = \ln \left( \frac{1 + \sqrt{1-x^2}} {x} \right)</math> |
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:<math>\operatorname{arcsch}(x) = \begin{cases}\ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}x\right)&,\text{für }x>0\\\ln\left(\frac{1-\sqrt{1+x^2}}x\right)&,\text{für }x<0\end{cases}</math> |
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Hierbei steht <math> \ln </math> für den [[Logarithmus|natürlichen Logarithmus]]. |
Hierbei steht <math> \ln </math> für den [[Logarithmus|natürlichen Logarithmus]]. |
Aktuelle Version vom 1. November 2023, 12:40 Uhr
Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus gehören zu den Areafunktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen zu Sekans hyperbolicus bzw. Kosekans hyperbolicus. Als Funktionen werden sie oder seltener bzw. und seltener geschrieben.
Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Man definiert den Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus meist über:
Hierbei steht für den natürlichen Logarithmus.
Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Areasecans hyperbolicus | Areakosekans hyperbolicus | |
---|---|---|
Definitionsbereich | ||
Wertebereich | ||
Periodizität | keine | keine |
Monotonie | streng monoton fallend | streng monoton fallend |
Symmetrien | keine | Ungerade Funktion |
Asymptote | ; | ; |
Nullstellen | keine | |
Sprungstellen | keine | keine |
Polstellen | ||
Extrema | keine | keine |
Wendepunkte | keine |
Spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es gilt:
wobei den goldenen Schnitt bezeichnet.
Reihenentwicklungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Dabei ist das -te Legendre-Polynom und steht für das Pochhammer-Symbol.
Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- .
- .
Integrale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Stammfunktionen des Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus sind:
Umrechnung und Beziehungen zu anderen trigonometrischen Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Eric W. Weisstein: Inverse Hyperbolic Secant und Inverse Hyperbolic Cosecant auf MathWorld