Mengendiagramm

Bleiverglastes Fenster mit einem Venn-Diagramm im britischen Cambridge, dem Studienort John Venns

Mengendiagramme dienen der grafischen Veranschaulichung der Mengenlehre. Es gibt unterschiedliche Arten von Mengendiagrammen, insbesondere Euler-Diagramme (nach Leonhard Euler) und Venn-Diagramme (nach John Venn).

Mengendiagramme können Mengenbeziehungen verdeutlichen, sind jedoch im Allgemeinen nicht als mathematische Beweismittel geeignet. Als Beweismittel eignen sich nur solche Mengendiagramme, die alle möglichen Relationen der vertretenen Mengen darstellen; solche Diagramme werden Venn-Diagramme genannt. Der Nachteil von Venn-Diagrammen liegt darin, dass sie bei mehr als drei beteiligten Mengen rasch unübersichtlich werden, weil sie bei n Objekten 2ⁿ Möglichkeiten darstellen müssen. Venn selbst konnte unter der Verwendung von Ellipsen bis zu vier, schließlich sogar fünf beteiligte Mengen darstellen.

Beispiele

Euler-Diagramme

Euler-Diagramme werden in erster Linie dazu eingesetzt, mengentheoretische Beziehungen und Sachverhalte, zum Beispiel die Teilmengeneigenschaft, anschaulich zu machen, wobei die folgenden Veranschaulichungen üblich sind: Christian Weise, Rektor des Gymnasiums in Zittau, verwendet um 1700 Mengendiagramme zur Darstellung logischer Verknüpfungen. Johann Christian Lange veröffentlichte 1712 das Buch Nucleus Logicae Weisianae, in dem Weises Logik behandelt wird. Leonhard Euler, Schweizer Mathematiker im 18. Jahrhundert, führte das Euler-Diagramm ein, das er erstmals in einem Brief vom 24. Februar 1761 verwendete.

John Venn, britischer Mathematiker im 19. Jahrhundert, führte 1881 das Venn-Diagramm ein. 1964 werden erstmals Arbeiten von Charles Sanders Peirce akademisch gewürdigt, die dieser im letzten Viertel des 19. Jahrhunderts verfasst hatte und die die Existentiellen Graphen beschreiben.

Anwendungsbeispiel Syllogistik

Die folgenden Grafiken zeigen, wie Venn-Diagramme seit dem 17. Jahrhundert zur Veranschaulichung von Syllogismen genutzt werden. Die Gültigkeit eines Schlusses kann mit dieser Methode überprüft werden. So sieht man etwa, dass der Modus Darapti (s. u.) nur unter der Voraussetzung eines nichtleeren Mittelbegriffs gültig ist.

In schwarzen Bereichen existiert dabei kein Element (Allaussage), in roten Bereichen zumindest ein Element x (Existenzaussage):

Beweis des Modus Barbara mittels Venn-Diagrammen:   Es gibt keine M außerhalb von P, es gibt keine S außerhalb von M; also gibt es keine S außerhalb von P.

Beweis des Modus Darapti mittels Venn-Diagrammen:   Es gibt keine M außerhalb von P und außerhalb von S, und es gibt einige M; also gibt es einige S in P.

Solche Venn-Diagramme lassen sich einfach in Euler-Diagramme umformen, wie die folgende Grafik zeigt. Venn-Diagramme haben den Vorteil, dass man keine Überschneidung vergessen kann, so dass sie auch für Beweise geeignet sind. Dagegen lässt sich bei Euler-Diagrammen intuitiver erfassen, welche Mengen ineinander liegen oder sich überschneiden.

Venn-Diagramme und Euler-Diagramme

Weblinks

Commons: Mengendiagramme – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Mengendiagramme: Euler- und Venn-Diagramm – Lern- und Lehrmaterialien

Wiktionary: Mengendiagramm – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Literatur

• Gereon Wolters: Venn-Diagramme, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. 2. Auflage. Band 8: Th – Z. Stuttgart, Metzler 2018, ISBN 978-3-476-02107-6, S. 280 f. (mit Literaturverzeichnis).