„*-Algebra“ – Versionsunterschied
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Sei <math>f(x):=x^*</math>, dann gilt in dieser Notation |
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* <math>f(s a+ t b) = \bar{s}f(a) + \bar{t}f(b)</math> |
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* <math>f(ab) = f(b)f(a) </math> |
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für <math>a,b \in \mathcal{A}</math> und <math>s,t \in \mathbb{C}</math>. |
für <math>a,b \in \mathcal{A}</math> und <math>s,t \in \mathbb{C}</math>. |
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Aktuelle Version vom 9. Mai 2024, 00:00 Uhr
Eine *-Algebra ist ein mathematischer Begriff aus der abstrakten Algebra. Eine *-Algebra bezeichnet eine algebraische Struktur, die einen involutiven Antiautomorphismus besitzt.
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine *-Algebra über ist ein komplexer Vektorraum mit einem -bilinearen, assoziativen Produkt und einer Abbildung , welche ein -antilinearer, involutiver Antiautomorphismus ist. Es gilt also[1]
für und .
Erläuterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei , dann gilt in dieser Notation
für und .
Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Die komplexen Zahlen bilden mit der durch komplexe Konjugation gegebenen Abbildung eine *-Algebra.
- Die Algebra der komplexen -Matrizen mit der durch Bildung der transponiert-konjugierten Matrix gegebenen Abbildung ist eine *-Algebra.
- Die beschränkten Operatoren eines gegebenen Hilbert-Raumes bilden mit der durch Adjunktion von Operatoren gegebenen Abbildung eine *-Algebra . Nach Definition der Adjunktion gilt die Gleichung für alle .
- Die kompakten Operatoren eines gegebenen Hilbert-Raumes bilden eine *-Unteralgebra .
- Von-Neumann-Algebren sind *-Unteralgebren von für einen Hilbert-Raum .
- Die Automorphismen einer abelschen Varietät bilden mit der Rosati-Involution eine *-Algebra.
- Ist eine lokalkompakte Gruppe, so trägt die L1-Gruppenalgebra eine Involution, die zu einer *-Algebra macht. Für ist definiert durch , wobei die modulare Funktion von ist.
Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- ↑ Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6.