„Ordnungsvollständigkeit“ – Versionsunterschied
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*Herbert Amann, Joachim Escher: ''Analysis I''. Springer, 3-te Auflage, 2006, ISBN |
* Herbert Amann, Joachim Escher: ''Analysis I''. Springer, 3-te Auflage, 2006, ISBN 978-3-7643-7756-4, S. [https://books.google.de/books?id=g0UlBAAAQBAJ&pg=PA98 98] |
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*Hermann Schichl, Roland Steinbauer: ''Einführung in das mathematische Arbeiten''. Springer, 2012, ISBN |
* Hermann Schichl, Roland Steinbauer: ''Einführung in das mathematische Arbeiten''. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-28645-2, S. 316–320 |
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*A. H. Lightstone: ''Linear Algebra''. Appleton-Century-Crofts, 1969 S. [https://books.google.de/books?id=Jx2py1dQr5IC&pg=PA178 178-180] |
* A. H. Lightstone: ''Linear Algebra''. Appleton-Century-Crofts, 1969 S. [https://books.google.de/books?id=Jx2py1dQr5IC&pg=PA178 178-180] |
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== Weblinks == |
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*R: Verfürth: [http://www.ruhr-uni-bochum.de/num1/files/lectures/Analysis1.pdf ''Analysis I'']. Skript, Ruhr-Universität Bochum, S. 35–42, insbesondere 42 |
* R: Verfürth: [http://www.ruhr-uni-bochum.de/num1/files/lectures/Analysis1.pdf ''Analysis I'']. Skript, Ruhr-Universität Bochum, S. 35–42, insbesondere 42 |
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*[http://www.math.umaine.edu/~farlow/sec52.pdf ''The Complete Ordered Field: The Real Numbers''] |
* [http://www.math.umaine.edu/~farlow/sec52.pdf ''The Complete Ordered Field: The Real Numbers''] |
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*John J. |
* John J. O’Connor: [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~john/analysis/Lectures/L5.html ''Axioms for the Real numbers''] - Kapitel eines Analysis-Spripts der University of St Andrews |
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== Einzelnachweise == |
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Aktuelle Version vom 14. Mai 2024, 22:16 Uhr
Ordnungsvollständigkeit ist ein Begriff aus der Algebra, speziell der Körpertheorie, der aber für beliebige geordnete Mengen definiert werden kann. Der Begriff der Ordnungsvollständigkeit erweist sich in der Ordnungstopologie für nicht zu „große“ geordnete Mengen als verwandt mit dem Begriff der Vollständigkeit in metrischen Räumen.
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Ordnung auf heißt ordnungsvollständig, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen gilt:
- Jede nichtleere nach unten beschränkte Teilmenge besitzt ein Infimum.
- Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge besitzt ein Supremum. (Die sogenannte Supremumseigenschaft.)
- Jede nichtleere beschränkte Menge besitzt Infimum und Supremum.
Zusammenhang zur metrischen Vollständigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ist die Ordnungstopologie auf metrisierbar, dann ist die Ordnung genau dann ordnungsvollständig, wenn vollständig metrisierbar ist, d. h. wenn es eine Metrik auf gibt, die die Ordnungstopologie erzeugt und zu einem vollständigen metrischen Raum macht.
Ordnungsvollständige Körper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Begriff der Ordnungsvollständigkeit ist insbesondere in der Theorie der geordneten Körper von Bedeutung. Er ermöglicht die folgende Charakterisierung des Körpers der reellen Zahlen:
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I. Springer, 3-te Auflage, 2006, ISBN 978-3-7643-7756-4, S. 98
- Hermann Schichl, Roland Steinbauer: Einführung in das mathematische Arbeiten. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-28645-2, S. 316–320
- A. H. Lightstone: Linear Algebra. Appleton-Century-Crofts, 1969 S. 178-180
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- R: Verfürth: Analysis I. Skript, Ruhr-Universität Bochum, S. 35–42, insbesondere 42
- The Complete Ordered Field: The Real Numbers
- John J. O’Connor: Axioms for the Real numbers - Kapitel eines Analysis-Spripts der University of St Andrews
Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- ↑ K.-U. Bux: Analysis I, Satz 8.4
- ↑ D. Lenz: Analysis I, Kapitel 2.4